Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ?
\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado fornece um único conjunto de quatro vetores em \mathbb{R}^{3} e pede para decidir se ele é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}. Os vetores do conjunto são:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
A pergunta que vamos responder explicitamente é: este conjunto gera \mathbb{R}^{3}? (ou seja, seu span é todo \mathbb{R}^{3}).

Passo 2

O que significa ser “conjunto de cobertura” (spanning set)? Significa que qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. Em termos práticos, para verificar isso basta mostrar que os vetores do conjunto têm posto (rank) igual a 3 — porque em \mathbb{R}^{3} ter posto 3 é equivalente a gerar todo o espaço.
Como checar o posto? Uma maneira simples é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e fazer eliminação (redução por linhas) para encontrar o número de pivôs (linhas/colunas linearmente independentes). Vou fazer isso passo a passo, explicando cada operação.

Passo 3

Formo a matriz A com os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[2pt] 0 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Cada coluna é v_1,v_2,v_3,v_4 respectivamente. Agora aplico operações elementares por linhas para chegar a uma forma escalonada e identificar pivôs.]

Passo 4

Começo com A:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[2pt] 0 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Vejo que já há pivô em linha 1, coluna 1 . Há pivô em linha 2, coluna 2 . Uso o pivô da linha 2 para zerar a entrada correspondente na linha 3: R_3 := R_3 - R_2. Isso dá
R_3 := R_3 - R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[2pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora aparece um pivô em linha 3, coluna 3 (entrada 1 em posição (3,3)). Uso esse pivô para zerar a entrada acima em coluna 3: R_1 := R_1 - R_3. Isso leva a
R_1 := R_1 - R_3 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[2pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora a forma escalonada mostra pivôs nas colunas 1,2,3. Portanto o número de pivôs (posto) é 3.]

Passo 5

Interpretação: o posto de A é 3. Em \mathbb{R}^{3} isso significa que os vetores do conjunto geram todo \mathbb{R}^{3}. Em particular, já que há três colunas independentes, uma base pode ser formada por, por exemplo, \{v_1,v_2,v_3\}. O quarto vetor v_4 é combinação linear dos três primeiros — podemos até calcular explicitamente os coeficientes para aprender: se procuramos a,b,c tais que a v_1 + b v_2 + c v_3 = v_4, escrevendo componentes,
a+c=1,\quad b=2,\quad b+c=3.
Da segunda equação vem b=2; então da terceira 2+c=3\Rightarrow c=1; daí a=1-c=0. Logo
v_4 = 0\cdot v_1 + 2\cdot v_2 + 1\cdot v_3,
confirmando dependência linear do quarto em relação aos três primeiros. Mesmo assim, como existem três vetores independentes, o conjunto total ainda gera \mathbb{R}^3.

Resposta

O conjunto dado é um conjunto de cobertura de \mathbb{R}^{3}.

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