O enunciado pede: determinar o espaço nulo de A, isto é, o conjunto de todos os vetores \mathbf{x}\in\mathbb{R}^4 tais que
A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Vou chamar as coordenadas de \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T}. O trabalho daqui por diante é resolver o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.]
Passo 2
O que significa resolver A\mathbf{x}=\mathbf{0}? Significa encontrar todas as tuplas (x_1,x_2,x_3,x_4) que satisfazem as três equações lineares dadas pelas linhas da matriz. Técnica prática: usar eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar pivôs (variáveis dependentes) e variáveis livres. Variáveis livres recebem parâmetros; a solução geral é uma combinação linear dos vetores associados aos parâmetros — esses vetores formam uma base do espaço nulo.
Vou aplicar operações elementares por linhas à matriz (sem o vetor coluna de constantes, pois é o vetor zero).
Passo 3
Escrevo a matriz como matriz de coeficientes e começo a eliminar abaixo do primeiro pivô (entrada 1 na posição (1,1)):
As colunas com pivô são coluna 1 e coluna 3 (portanto x_1 e x_3 são variáveis dependentes). As colunas sem pivô são 2 e 4 (portanto x_2 e x_4 são variáveis livres). Chamo parâmetros para as variáveis livres:
x_2 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t\in\mathbb{R}.
Resolvendo para as dependentes:
x_3 = -3t,
x_1 = -x_2 -5x_4 = -s -5t.]
Passo 6
Escrevo a solução geral em forma vetorial. Substituindo:
Portanto o espaço nulo (nullspace) é o subespaço gerado pelos dois vetores acima. Esses dois vetores são linearmente independentes (pois os parâmetros s e t aparecem separadamente), logo formam uma base do espaço nulo, que tem dimensão 2.]