Determine o espaço nulo de cada uma das seguintes matrizes
\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 2 & -3 & 1 \\\\ -1 & -1 & 0 & -5\end{array}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 2 & -3 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 0 & -5 \end{pmatrix}.
O enunciado pede: determinar o espaço nulo de A, isto é, o conjunto de todos os vetores \mathbf{x}\in\mathbb{R}^4 tais que
A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Vou chamar as coordenadas de \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{T}. O trabalho daqui por diante é resolver o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.]

Passo 2

O que significa resolver A\mathbf{x}=\mathbf{0}? Significa encontrar todas as tuplas (x_1,x_2,x_3,x_4) que satisfazem as três equações lineares dadas pelas linhas da matriz. Técnica prática: usar eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar pivôs (variáveis dependentes) e variáveis livres. Variáveis livres recebem parâmetros; a solução geral é uma combinação linear dos vetores associados aos parâmetros — esses vetores formam uma base do espaço nulo.
Vou aplicar operações elementares por linhas à matriz (sem o vetor coluna de constantes, pois é o vetor zero).

Passo 3

Escrevo a matriz como matriz de coeficientes e começo a eliminar abaixo do primeiro pivô (entrada 1 na posição (1,1)):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 2 & -3 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 0 & -5 \end{pmatrix}.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + R_1. Calculo explicitamente:
  • Para R_2 - 2R_1: 2-2\cdot1=0, 2-2\cdot1=0, -3-2\cdot(-1)=-3+2=-1, 1-2\cdot2=1-4=-3.
  • Para R_3 + R_1: -1+1=0, -1+1=0, 0+(-1)=-1, -5+2=-3.
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vejo que R_2 e R_3 são iguais. Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2 para obter uma linha nula:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplico R_2 por -1 para obter um pivô positivo em (2,3):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida elimino a entrada -1 em (1,3) usando R_1 \leftarrow R_1 + R_2. O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora volto da matriz à forma de equações. As duas linhas não nulas equivalem a
\begin{cases} x_1 + x_2 + 5x_4 = 0,\\[4pt] x_3 + 3x_4 = 0. \end{cases}
As colunas com pivô são coluna 1 e coluna 3 (portanto x_1 e x_3 são variáveis dependentes). As colunas sem pivô são 2 e 4 (portanto x_2 e x_4 são variáveis livres). Chamo parâmetros para as variáveis livres:
x_2 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t\in\mathbb{R}.
Resolvendo para as dependentes:
x_3 = -3t,
x_1 = -x_2 -5x_4 = -s -5t.]

Passo 6

Escrevo a solução geral em forma vetorial. Substituindo:
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-s-5t\\[4pt]s\\[4pt]-3t\\[4pt]t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix},
com s,t\in\mathbb{R}.
Portanto o espaço nulo (nullspace) é o subespaço gerado pelos dois vetores acima. Esses dois vetores são linearmente independentes (pois os parâmetros s e t aparecem separadamente), logo formam uma base do espaço nulo, que tem dimensão 2.]

Resposta

\operatorname{Nul}(A)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-5\\[4pt]0\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}]

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