Vamos encontrar todos os vetores \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} tais que
A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Informações relevantes dadas:
A matriz A é uma matriz 3\times3 cujas linhas são (1,3,-4), (2,-1,-1) e (-1,-3,4).
Queremos o conjunto de soluções do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}.]
Passo 2
O que é o espaço nulo e como vamos resolver (breve aula):
O espaço nulo de A, denotado \operatorname{Null}(A), é o conjunto de todos os vetores \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Resolver A\mathbf{x}=\mathbf{0} é resolver um sistema linear homogêneo. O método mais direto é a eliminação de Gauss (colocar a matriz na forma escalonada por linhas), identificar as variáveis pivô e as variáveis livres, e parametrizar as soluções.
Cada equação obtida da matriz escalonada corresponde a uma relação linear entre as coordenadas x_{1},x_{2},x_{3}. Variáveis livres recebem parâmetros (por exemplo t) e a solução geral é escrita em termos desses parâmetros.
Vou aplicar eliminação de Gauss passo a passo.
Passo 3
Montar a matriz aumentada do sistema homogêneo (coluna de zeros não precisa ser escrita explicitamente). Inicialmente temos a matriz dos coeficientes:
Agora zerar o elemento acima do pivô da segunda linha para ter forma escalonada reduzida por linhas: fazer R_{1}\leftarrow R_{1}-3R_{2}.
Calcule R_{1}-3R_{2}=(1,3,-4)-3(0,1,-1)=(1,3,-4)-(0,3,-3)=(1,0,-1).
A matriz fica então