Para cada curva, determine: o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade, a Tangenge unitária, a Normal unitária e o comprimento de arco:
(a) y=(2 / 3) x^3 / 2, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano como o gráfico de
y = 23 , x^3/2, 0 <= x <= 1
Queremos tratar isso como curva paramétrica, de modo a encontrar:
– o vetor velocidade v(t),
– o vetor aceleração a(t),
– a velocidade (norma de v(t)),
– o versor tangente unitário T(t),
– o versor normal unitário N(t),
– o comprimento de arco da curva de x=0 até x=1.
Para isso, vamos parametrizar a curva por t=x, usar derivadas ordinárias e as fórmulas padrão de curvas planas.

Passo 2

Parametrizando por
r(t)=l(t,;tfrac23,t^3/2r), 0<= t<=1,
temos
v(t)=r'(t) =l(1,;ddtl(tfrac23t^3/2r)r) =l(1,;t^1/2r),
e
a(t)=r''(t) =l(0,;tfrac12,t^-1/2r)

Passo 3

A velocidade (rapidez) é a norma de v(t):
|v(t)| =raiz1^2+(t^1/2)^2 =raiz1+t,

Passo 4

O versor tangente unitário é
T(t) =v(t)|v(t)| =1raiz1+t,(1,;t^1/2) =l(tfrac1raiz1+t,;tfract^1/2raiz1+tr)

Passo 5

Para achar o versor normal unitário, calculamos T'(t) e normalizamos:
T'(t) =l(-tfrac12(1+t)^-3/2,; tfrac12,t^1/2(1+t)^3/2r),
|T'(t)| =12,raizt,(1+t)
Logo
N(t) =T'(t)|T'(t)| =l(-raiztfract1+t,;tfrac1raiz1+tr)

Passo 6

O comprimento de arco de t=0 a t=1 é
s=integral0^1|v(t)|,dt =integral0^1raiz1+t,dt =l[tfrac23(1+t)^3/2r]0^1 =tfrac23l(2raiz2-1r)

Resposta

Vetor velocidade: v(t)=l(1,t^1/2r)
Vetor aceleração: a(t)=l(0,tfrac12,t^-1/2r)
Velocidade: |v(t)|=raiz1+t
Tangente unitária: T(t)=l(tfrac1raiz1+t,;tfract^1/2raiz1+tr)
Normal unitária: N(t)=l(-raiztfract1+t,;tfrac1raiz1+tr)
Comprimento de arco: s=tfrac23l(2raiz2-1r)

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