Considere a curva parametrizada r(t)=cos t i-1t j+sen t k e determine o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada r(t)=cos t, i-1t, j+sen t, k e pede o ângulo entre a velocidade r'(t) e a aceleração r''(t) em t=1. Para resolver, vamos: (1) calcular r'(t) e r''(t), (2) avaliar em t=1, (3) usar produto escalar e normas, (4) aplicar
costheta= r'(1)cdot r''(1)lVert r'(1)rVert,lVert r''(1)rVert

Passo 2

Derivando componente a componente:
r'(t) = ddt(cos t), i + ddtl(-1tr), j + ddt(sen t), k = -sen t, i + 1t^2, j + cos t, k,
r''(t) = ddt(-sen t), i + ddtl(1t^2r), j + ddt(cos t), k = -cos t, i - 2t^3, j - sen t, k

Passo 3

Agora avaliamos em t=1:
r'(1) = -sen 1, i + 1, j + cos 1, k, r''(1) = -cos 1, i -2, j -sen 1, k

Passo 4

Calculamos o produto escalar:
r'(1)cdot r''(1) = (-sen 1)(-cos 1) + (1)(-2) + (cos 1)(-sen 1) = sen 1cos 1 -2 -sen 1cos 1 = -2

Passo 5

As normas são
lVert r'(1)rVert = raiz(-sen 1)^2 + 1^2 + (cos 1)^2 = raiz1+1 = raiz2,
lVert r''(1)rVert = raiz(-cos 1)^2 + (-2)^2 + (-sen 1)^2 = raiz1+4 = raiz5

Passo 6

Pelo produto escalar temos
costheta = r'(1)cdot r''(1)lVert r'(1)rVert,lVert r''(1)rVert = -2raiz2,raiz5 = -2raiz10
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theta = arccos!l(-2raiz10r)

Resposta

O ângulo entre os vetores velocidade e aceleração em t=1 é
theta = arccos!l(-2raiz10r)

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