Para cada curva, determine: o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade, a Tangenge unitária, a Normal unitária e o comprimento de arco:
(b) y=raizx, 1 / 4 <= x <= 3 / 4

Passo 1

O enunciado pede para a curva y=raizx no intervalo 1/4<= x<=3/4 determinarmos—usando conceitos de curva parametrizada—o vetor velocidade v, o vetor aceleração a, a velocidade escalar | v|, o versor tangente T, o versor normal N e o comprimento de arco. Vamos precisar parametrizar a curva por um parâmetro t, depois usar derivadas para obter v= r', a= r'', calcular | v|, em seguida
T(t)= v(t)| v(t)|, N(t)=(-y',,x')| v(t)|,
e por fim
s=integralt0^t1| v(t)|,dt

Passo 2

Parametrização. Basta tomar
x=t, y=raizt,
com t variando de t0=1/4 até t1=3/4. Logo
r(t)=l(t,;raiztr)

Passo 3

Vetores velocidade e aceleração. Derivando componente a componente,
v(t)= r'(t) =l(1,;12raiztr), a(t)= r''(t) =l(0,;-14,t^3/2r)

Passo 4

Velocidade escalar.
| v(t)| =raiz1^2+l(tfrac12raiz tr)^!2 =raiz1+14t =raiz4t+14t =raiz4t+12raiz t

Passo 5

Versores tangente e normal.
T(t) = v(t)| v(t)| =1raiz1+14t l(1,;tfrac12raiz tr),
N(t) =(-y',,x')| v(t)| =1raiz1+14t l(-tfrac12raiz t,;1r)

Passo 6

Comprimento de arco.
L=integralt0^t1| v(t)|,dt =integral1/4^3/4raiz4t+12raiz t,dt
Fazendo a integral (por substituição u=raiz4t+1) obtém-se
L =raiz32-raiz24 +14ln!l(2+raiz31+raiz2r)

Resposta

v(t) = l(1, tfrac12raiztr), a(t) = l(0, -tfrac14 t^3/2r), |v(t)| = raiz4t+12raizt, T(t) = 1raiz1 + tfrac14t l(1, tfrac12raiztr), N(t) = 1raiz1 + tfrac14t l(-tfrac12raizt, 1r), L = raiz32 - raiz24 + 14 ln!l(2 + raiz31 + raiz2r)

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