Para cada curva, determine: o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade, a Tangenge unitária, a Normal unitária e o comprimento de arco:
(c) y=x^2 / 3, 1 <= x <= 8

Passo 1

O enunciado dá a curva definida por
;y=x^2/3, 1<= x<=8,
e pede (i) o vetor velocidade v, (ii) o vetor aceleração a, (iii) a velocidade escalar lvertvrvert, (iv) a tangente unitária T, (v) a normal unitária N e (vi) o comprimento de arco. Vamos usar diferenciação parâtrica e fórmulas de curvas planas.

Passo 2

Parametrizando por x, temos
r(x)=l(x,;x^2/3r)
Diferenciando em x obtemos
v(x)=r'(x) =l(1,;tfrac23x^-1/3r),
a(x)=r''(x) =l(0,;-,tfrac29x^-4/3r)

Passo 3

A velocidade escalar é
lvertv(x)rvert =raiz,1+l(tfrac23x^-1/3r)^2, =raiz1+tfrac49x^-2/3
A tangente unitária é
T(x) =v(x)lvertv(x)rvert =gl(1raiz1+tfrac49x^-2/3,; tfrac23x^-1/3raiz1+tfrac49x^-2/3gr)

Passo 4

Para curvas planas, um vetor normal unitário pode ser obtido por rotação de 90^circ. Aqui a curvatura é negativa ( y''<0), indicando que a norma principal é
N(x) =l(Ty,;-Txr) =gl(tfrac23x^-1/3raiz1+tfrac49x^-2/3,; -1raiz1+tfrac49x^-2/3gr),
que satisfaz NperpT e lvertNrvert=1.

Passo 5

O comprimento de arco é
s=integral1^8lvertv(x)rvert,dx =integral1^8raiz1+tfrac49x^-2/3;dx
Fazendo u=x^1/3Rightarrow dx=3u^2du, vai-se a
s=integral1^2uraiz9u^2+4,du =(9u^2+4)^3/227|1^2 =40raiz40-13raiz1327

Resposta

(i) v(x)=l(1,;tfrac23x^-1/3r)
(ii) a(x)=l(0,;-,tfrac29x^-4/3r)
(iii) lvertv(x)rvert=raiz1+tfrac49x^-2/3
(iv) T(x)=l(tfrac1raiz1+tfrac49x^-2/3,;tfractfrac23x^-1/3raiz1+tfrac49x^-2/3r)
(v) N(x)=l(tfractfrac23x^-1/3raiz1+tfrac49x^-2/3,;-tfrac1raiz1+tfrac49x^-2/3r)
(vi) s=40raiz40-13raiz1327

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