Reparametrize a curva r(t)=cos t i+sen t j+t k pelo comprimento de arco.

Passo 1

Temos a curva
r(t)=cos t,i+sin t,j+t,k,
e queremos reparametrizá-la por comprimento de arco s. Vamos usar o fato de que o comprimento de arco a partir de t=0 até t é
s(t)=integral0^tl|r'(u)r|,du,
e depois inverter s(t) para achar t em função de s.

Passo 2

Calculamos a derivada
r'(t)=(-sin t),i+(cos t),j+1,k
O módulo é
l|r'(t)r| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2 =raizsin^2t+cos^2t+1 =raiz1+1 =raiz2

Passo 3

Como a velocidade é constante raiz2, o comprimento de arco de 0 a t é
s(t)=integral0^traiz2,du =raiz2,t
Invertendo essa relação, obtemos
t=sraiz2

Passo 4

Basta substituir t=tfracsraiz2 em r(t). Assim, a reparametrização por arco é
r(s) =cos!l(tfracsraiz2r)i +sin!l(tfracsraiz2r)j +sraiz2k

Resposta

boxed r(s) =cos!l(tfracsraiz2r)i +sin!l(tfracsraiz2r)j +sraiz2k, s>=0

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