Para cada curva, determine: o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade, a Tangenge unitária, a Normal unitária e o comprimento de arco:
(d) y=ln (sec x), 0 <= x <= pi / 4

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano
y = ln(sec x), 0 <= x <= tfracpi4,
e pede vetor velocidade v, vetor aceleração a, velocidade escalar v, versores tangente T e normal N, e comprimento de arco. Vamos parametrizar por
r(t)=l(x(t),,y(t)r) =l(t,;ln(sec t)r), tin[0,tfracpi4]
O conteúdo usado será derivação de funções elementares, cálculo de norma de vetor e definição de versores.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e segunda de r(t):
r'(t)=l(1,;tfracddtln(sec t)r) =l(1,;tan tr),
r''(t)=l(0,;tfracddttan tr) =l(0,;sec^2 tr)
Logo, o vetor velocidade é
v(t)= r'(t)=l(1,;tan tr),
e o vetor aceleração é
a(t)= r''(t)=l(0,;sec^2 tr)

Passo 3

A rapidez (velocidade escalar) é a norma de v:
v(t)=| v(t)| =raiz1^2+(tan t)^2 =raiz1+tan^2 t =sec t
O versor tangente unitário é
T(t) = v(t)v(t) =(1,;tan t)sec t =(cos t,;sin t)

Passo 4

Para achar o versor normal unitário, derivamos T e normalizamos:
T'(t) =l(-sin t,;cos tr), | T'(t)|=raizsin^2t+cos^2t=1
Então
N(t) = T'(t) =l(-sin t,;cos tr)

Passo 5

O comprimento de arco de t=0 até t=pi/4 é
s=integral0^pi/4v(t),dt =integral0^pi/4sec t,dt =l[lnl|sec t+tan tr|r]0^pi/4 =lnl(raiz2+1r)-ln(1) =lnl(raiz2+1r)

Resposta

v(t)=(1,;tan t),
a(t)=(0,;sec^2 t),
v(t)=sec t,
T(t)=(cos t,;sin t),
N(t)=(-sin t,;cos t),
s=ln(raiz2+1)

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