Dada as equações paramétricas x=2 raizt e y=3 t^2-2 t, encontre d yd x e d^2 yd x^2

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = 2raizt, y = 3t^2 - 2t
e pede dydx e d^2ydx^2.
O conteúdo é derivação de funções paramétricas, usando a relação
dydx = dydtdxdt
e em seguida
d^2ydx^2 = ddtl(dydxr)dxdt

Passo 2

Calcular dxdt e dydt.
Como x = 2t^1/2,
dxdt = 2cdot 12t^-1/2 = 1raizt
Como y = 3t^2 - 2t,
dydt = 6t - 2

Passo 3

Usar dydx = dydtdxdt.
dydx = 6t - 2tfrac1raizt = (6t - 2),raizt = 6t^3/2 - 2t^1/2

Passo 4

Calcular o numerador de d^2ydx^2, que é ddtl(tfracdydxr).
Como dydx = (6t - 2)t^1/2, use produto:
ddtl((6t-2)t^1/2r) = 6,t^1/2 + (6t - 2)cdot12,t^-1/2 = 6raizt + 6t - 22raizt = 9t - 1raizt

Passo 5

Dividir pelo dxdt para obter d^2ydx^2:
d^2ydx^2 = 9t - 1raizt 1raizt = 9t - 1

Resposta

dydx = 6t^3/2 - 2t^1/2, d^2ydx^2 = 9t - 1

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