Calcule o comprimento de arco da curva
de equações paramétricas:
Solução. Das equações paramétricas, obtemos a parametrização:
Segue então que:
Portanto,
ell & =integral0^2 pi|r^prime(t)| d t=integral0^2 pi raiz2 r raiz1-cos t d t & =raiz2 r integral0^2 pi raiz1-cos t d t
Para calcular a integral, precisamos de (Cálculo 2) algumas identidades:
sen^2(theta)+cos ^2(theta)=1 & cos (2 a)=cos ^2(a)-sen^2(a)
Fazendo
2 a=t na segunda equação, obtemos:
cos (t)=cos ^2(t / 2)-sen^2(t / 2) & Rightarrow-cos (t)=sen^2(t / 2)-cos ^2(t / 2) & Rightarrow 1-cos (t)=sen^2(t / 2)+1-cos ^2(t / 2)=2 sen^2(t / 2)
Portanto, temos
integral0^2 pi raiz1-cos t d t=integral0^2 pi raiz2 sen^2(t / 2) d t=raiz2 integral0^2 pi sen(t / 2) d t
Lembrete: Primita
integral sen(lambda t) d t=-1lambda cos (lambda t) Rightarrow integral sen(t / 2) d t=-2 cos (t / 2) Con- clussão:
integral0^2 pi sen(t / 2) d t=-2 cos (t / 2)|0 ^2 pi=4
Segue portanto que:
ell=raiz2 r integral0^2 pi raiz1-cos t d t=raiz2 r times raiz2 integral0^2 pi sen(t / 2) d t=raiz2 r times raiz2 times 4=8 r
Passo 1
Estamos calculando o comprimento de arco de uma curva paramétrica
sigmacolon[0,2pi]toR^2 dada por
O conteúdo é arco de curva paramétrica e vamos precisar de
r'(t) e da sua norma.
Passo 2
Escrevemos a parametrização vetorial
e derivamos componente a componente:
Logo,
Passo 3
Simplificamos dentro da raiz usando
sen^2 t+ cos^2 t=1 :
Assim
Passo 4
Usamos a identidade de ângulo metade
,1-cos t=2sen^2(t/2) . Então
Como
tin[0,2pi] dá
t/2in[0,pi] , temos
sen(t/2)>=0 e
Passo 5
O comprimento de arco é
Fazendo
u=t/2 ,
dt=2,du e os limites vão de
u=0 a
u=pi ,