Calcule o comprimento de arco da curva sigma de equações paramétricas:
x=r(t-sen t), y=r(1-cos t), 0 <= t <= 2 pi ( Resp : L=8 r)
Solução. Das equações paramétricas, obtemos a parametrização:
r(t)=(r(t-sen t), r(1-cos t))
Segue então que:
r^prime(t)=(r(1-cos t), r sen t) Rightarrow |r^prime(t)|=r raiz(1-cos t)^2+sen^2 t=raiz2 r raiz1-cos t
Portanto,
ell & =integral0^2 pi|r^prime(t)| d t=integral0^2 pi raiz2 r raiz1-cos t d t & =raiz2 r integral0^2 pi raiz1-cos t d t
Para calcular a integral, precisamos de (Cálculo 2) algumas identidades:
sen^2(theta)+cos ^2(theta)=1 & cos (2 a)=cos ^2(a)-sen^2(a)
Fazendo 2 a=t na segunda equação, obtemos:
cos (t)=cos ^2(t / 2)-sen^2(t / 2) & Rightarrow-cos (t)=sen^2(t / 2)-cos ^2(t / 2) & Rightarrow 1-cos (t)=sen^2(t / 2)+1-cos ^2(t / 2)=2 sen^2(t / 2)
Portanto, temos
integral0^2 pi raiz1-cos t d t=integral0^2 pi raiz2 sen^2(t / 2) d t=raiz2 integral0^2 pi sen(t / 2) d t
Lembrete: Primita
integral sen(lambda t) d t=-1lambda cos (lambda t) Rightarrow integral sen(t / 2) d t=-2 cos (t / 2) Con- clussão:
integral0^2 pi sen(t / 2) d t=-2 cos (t / 2)|0 ^2 pi=4
Segue portanto que:
ell=raiz2 r integral0^2 pi raiz1-cos t d t=raiz2 r times raiz2 integral0^2 pi sen(t / 2) d t=raiz2 r times raiz2 times 4=8 r

Passo 1

Estamos calculando o comprimento de arco de uma curva paramétrica
sigmacolon[0,2pi]toR^2 dada por
x=rl(t-sen tr), y=rl(1-cos tr)
O conteúdo é arco de curva paramétrica e vamos precisar de r'(t) e da sua norma.

Passo 2

Escrevemos a parametrização vetorial
r(t)=l(r(t-sen t),,r(1-cos t)r)
e derivamos componente a componente:
r'(t)=l(r(1-cos t),,rsen tr)
Logo,
|r'(t)| =raizl[r(1-cos t)r]^2+l[rsen tr]^2 =rraiz(1-cos t)^2+sen^2 t

Passo 3

Simplificamos dentro da raiz usando sen^2 t+ cos^2 t=1:
(1-cos t)^2+sen^2 t =1-2cos t+cos^2 t+sen^2 t =2(1-cos t)
Assim
|r'(t)| =rraiz2(1-cos t)

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo metade
,1-cos t=2sen^2(t/2). Então
|r'(t)| =rraiz2cdot2sen^2(t/2) =2r,|sen(t/2)|
Como tin[0,2pi] t/2in[0,pi], temos sen(t/2)>=0 e
|r'(t)|=2rsen(t/2)

Passo 5

O comprimento de arco é
L=integral0^2pi|r'(t)|,dt =integral0^2pi2rsen(t/2),dt =2rintegral0^2pisen(t/2),dt
Fazendo u=t/2, dt=2,du e os limites vão de u=0 a u=pi,
L=2rintegral0^pisen(u)cdot2,du =4rl[-cos(u)r]0^pi =4rl[-cos(pi)+cos(0)r] =4rl[1+1r] =8r

Resposta

L=8r

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