Para cada uma das curvas \gamma(t) abaixo esboçe seu traço e calcule a derivada em t_{0} e a equação da reta tangente em t_{0}.
\gamma(t)=(t, \sqrt{t}), com t \in \mathbb{R} e t_{0}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica \gamma(t) = (t,\sqrt{t})
com t_0 = 1.
Precisamos de duas coisas:
  1. Esboçar o traço da curva no plano (x,y).
  2. Calcular a derivada \gamma'(t_0) e a equação da reta tangente em t_0.
    Conteúdo: derivada de curva paramétrica e reta tangente a curva.

Passo 2

Antes de tudo, note que, para \sqrt{t} existir no mundo real, só faz sentido a curva para t\ge0.
Escrevendo x=t e y=\sqrt{t} temos y^2=x, ou seja, o ramo da parábola y^2=x no quadrante superior.
O esboço é uma curva suave que parte de (0,0) e sobe devagar para a direita.

Passo 3

Para achar a derivada paramétrica usamos a regra de derivação componente a componente.
A derivada de t em relação a t é 1, e a derivada de \sqrt{t} é \frac{1}{2\sqrt{t}}.
Logo,
\gamma'(t) = \bigl(1,\frac{1}{2\sqrt{t}}\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em t_0=1. Primeiro encontramos o ponto na curva:
\gamma(1) = (1,\sqrt{1}) = (1,1).
A derivada em t_0 é
\gamma'(1) = \bigl(1,\tfrac12\bigr).
Isso significa que o vetor tangente em (1,1) tem direção (1,\tfrac12).
A equação da reta tangente em forma cartesiana fica
y - 1 = \tfrac12\,(x - 1),
ou seja
y = \tfrac12\,x + \tfrac12.

Resposta

Derivada em t_0: \gamma'(1) = \bigl(1,\tfrac12\bigr).
Reta tangente: y - 1 = \tfrac12\,(x - 1), isto é, y = \tfrac12x + \tfrac12.

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