Para cada uma das curvas
abaixo esboçe seu traço e calcule a derivada em
e a equação da reta tangente em
.
, com
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
com .
Precisamos de duas coisas:
com
Precisamos de duas coisas:
- Esboçar o traço da curva no plano
. - Calcular a derivada
e a equação da reta tangente em .
Conteúdo: derivada de curva paramétrica e reta tangente a curva.
Passo 2
Antes de tudo, note que, para
existir no mundo real, só faz sentido a curva para
.
Escrevendo e
temos
, ou seja, o ramo da parábola
no quadrante superior.
O esboço é uma curva suave que parte de e sobe devagar para a direita.
Escrevendo
O esboço é uma curva suave que parte de
Passo 3
Para achar a derivada paramétrica usamos a regra de derivação componente a componente.
A derivada de em relação a
é
, e a derivada de
é
.
Logo,
A derivada de
Logo,
Passo 4
Agora avaliamos em
. Primeiro encontramos o ponto na curva:
A derivada em
é
Isso significa que o vetor tangente em
tem direção
.
A equação da reta tangente em forma cartesiana fica
A equação da reta tangente em forma cartesiana fica
ou seja
Resposta
Derivada em
:
.
Reta tangente: , isto é,
.
Reta tangente: