Resolva as integrais abaixo:
\int_{0}^{1} \frac{x}{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\frac{x}{1 - x^{2}}\,dx
que é imprópria porque o denominador 1 - x^{2} se anula em x=1. Para resolver precisamos achar uma antiderivada por substituição e depois avaliar o limite que define a integral imprópria.

Passo 2

Vamos achar a antiderivada de \dfrac{x}{1 - x^{2}} por substituição. Defina
u = 1 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac12\,du.
Logo,
\int \frac{x}{1 - x^{2}}\,dx = \int \frac{-\tfrac12\,du}{u} = -\tfrac12 \int \frac{du}{u} = -\tfrac12 \ln\bigl|u\bigr| + C = -\tfrac12 \ln\bigl(1 - x^{2}\bigr) + C.

Passo 3

Como a integral é imprópria em x=1, avaliamos
\int_{0}^{1}\frac{x}{1 - x^{2}}\,dx = \lim_{b\to1^{-}}\int_{0}^{b}\frac{x}{1 - x^{2}}\,dx = \lim_{b\to1^{-}} \Bigl[-\tfrac12 \ln\bigl(1 - x^{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{b}.
Substituindo os limites,
\Bigl[-\tfrac12 \ln\bigl(1 - x^{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{b} = -\tfrac12 \ln\bigl(1 - b^{2}\bigr) - \bigl(-\tfrac12 \ln(1)\bigr) = -\tfrac12 \ln\bigl(1 - b^{2}\bigr),
pois \ln(1)=0.

Passo 4

Quando b\to1^{-}, 1-b^{2}\to0^{+} e \ln(1-b^{2})\to -\infty. Portanto
-\tfrac12 \ln\bigl(1 - b^{2}\bigr)\;\longrightarrow\;+\infty,
o que mostra que a integral não converge: ela diverge para +\infty.

Resposta

A integral diverge (vai a +\infty).

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