Resolva as integrais abaixo:
\int_{0}^{1}(x-2)^{2}(x-1)^{100} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}(x-2)^{2}(x-1)^{100}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de polinômio, e vamos usar uma substituição para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 1,
logo x = u + 1 e dx = du.
Quando x=0, u=-1; quando x=1, u=0.
A integral vira
\int_{-1}^{0}( (u+1)-2 )^{2}\,u^{100}\,du = \int_{-1}^{0}(u-1)^{2}\,u^{100}\,du.

Passo 3

Expandimos (u-1)^{2}:
(u-1)^{2} = u^{2} - 2u + 1.
Assim
\int_{-1}^{0}(u-1)^{2}\,u^{100}\,du = \int_{-1}^{0}\bigl(u^{102} - 2u^{101} + u^{100}\bigr)\,du.

Passo 4

Calculamos cada termo usando
\int_{-1}^{0}u^{n}\,du = \left[\frac{u^{n+1}}{n+1}\right]_{-1}^{0} = -\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}.
  • Para n=102:
\int_{-1}^{0}u^{102}\,du = -\frac{(-1)^{103}}{103} = \frac{1}{103}.
  • Para n=101:
\int_{-1}^{0}u^{101}\,du = -\frac{(-1)^{102}}{102} = -\frac{1}{102},
mas no integrando temos -2u^{101}, logo contribui
-2\cdot\Bigl(-\frac{1}{102}\Bigr) = \frac{1}{51}.
  • Para n=100:
\int_{-1}^{0}u^{100}\,du = -\frac{(-1)^{101}}{101} = \frac{1}{101}.

Passo 5

Somando as três partes, a integral vale
\frac{1}{103} + \frac{1}{51} + \frac{1}{101} = \frac{20807}{530553}.

Resposta

\int_{0}^{1}(x-2)^{2}(x-1)^{100}\,dx = \frac{20807}{530553}.

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