Para cada uma das curvas \gamma(t) abaixo esboçe seu traço e calcule a derivada em t_{0} e a equação da reta tangente em t_{0}.
\gamma(t)=(\operatorname{sen}(2 t), \cos (2 t)), com t \in[0, \pi] e t_{0}=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado define a curva
\gamma(t) = (\sin(2t),\,\cos(2t)) para t\in[0,\pi] e pede que a gente esboce seu traço, calcule a derivada \gamma'(t_0) em t_0 = \tfrac\pi4 e encontre a equação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Para ver o traço, note que sejam
x=\sin(2t), \quad y=\cos(2t).
Como \sin^2(2t)+\cos^2(2t)=1, a curva está no círculo de raio 1 centrado na origem. À medida que t vai de 0 a \pi, o argumento 2t percorre um ciclo completo de 0 a 2\pi, traçando todo o círculo uma vez (no sentido horário).

Passo 3

Vamos calcular a derivada vetorial de \gamma. Derivando coordenada a coordenada, obtemos
\gamma'(t) = \bigl(\tfrac{d}{dt}\sin(2t),\;\tfrac{d}{dt}\cos(2t)\bigr) = \bigl(2\cos(2t),\,-2\sin(2t)\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em t_0=\tfrac\pi4:
\cos\bigl(2\cdot\tfrac\pi4\bigr)=\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0, \quad \sin\bigl(2\cdot\tfrac\pi4\bigr)=\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1.
Logo
\gamma'\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \bigl(2\cdot0,\,-2\cdot1\bigr) = (0,\,-2).
O ponto em si é
\gamma\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \bigl(\sin\tfrac\pi2,\;\cos\tfrac\pi2\bigr) = (1,\,0).

Passo 5

A reta tangente em (1,0) tem direção dada por \gamma'(\tfrac\pi4)=(0,-2). Uma forma paramétrica da reta é
\ell(s) = (1,0) + s\,(0,-2),
ou seja
x(s)=1, \quad y(s)=-2s.
Em coordenadas cartesianas a reta é simplesmente
x=1.

Resposta

\gamma'(\tfrac\pi4) = (0,\,-2)
reta tangente: \ell(s)=(1,0)+s\,(0,-2), equivalently x=1.

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