Para cada determinante abaixo, dê sua expressão na variável x ou seu valor numérico, dependendo do caso. \left|\begin{array}{ccc}x+1 & x^{2}+x+1 & x \\\ x^{2}-1 & x+2 & 3 \\\ x-4 & 0 & x^{2}\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede calcular o determinante da matriz 3\times3 dada. As informações fornecidas são exatamente os elementos da matriz:
A tarefa é expressar o valor do determinante como função de x (ou um valor numérico, se for o caso). Não há outras informações externas.]
Passo 2
Vou escolher um método prático para calcular este determinante. Uma maneira frequentemente simples é expandir por uma coluna ou linha que contenha zeros ou entradas fáceis. Aqui a segunda coluna tem um zero na terceira linha, então vou usar expansão por cofatores ao longo da segunda coluna (isso reduz o número de menores a calcular e é direto).
Antes de aplicar, lembro a fórmula de expansão por cofatores: para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij},
quando expandimos pela coluna 2; em geral a contribuição de cada elemento a_{ij} é (-1)^{i+j} a_{ij} vezes o determinante do menor M_{ij} (a matriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j).