Para cada determinante abaixo, dê sua expressão na variável x ou seu valor numérico, dependendo do caso.
\left|\begin{array}{ccc}x+1 & x^{2}+x+1 & x \\\ x^{2}-1 & x+2 & 3 \\\ x-4 & 0 & x^{2}\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz 3\times3 dada. As informações fornecidas são exatamente os elementos da matriz:
\begin{pmatrix} x+1 & x^{2}+x+1 & x\\[4pt] x^{2}-1 & x+2 & 3\\[4pt] x-4 & 0 & x^{2} \end{pmatrix}
A tarefa é expressar o valor do determinante como função de x (ou um valor numérico, se for o caso). Não há outras informações externas.]

Passo 2

Vou escolher um método prático para calcular este determinante. Uma maneira frequentemente simples é expandir por uma coluna ou linha que contenha zeros ou entradas fáceis. Aqui a segunda coluna tem um zero na terceira linha, então vou usar expansão por cofatores ao longo da segunda coluna (isso reduz o número de menores a calcular e é direto).
Antes de aplicar, lembro a fórmula de expansão por cofatores: para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij},
\det(A)=\sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+2}\,a_{i2}\,\det(M_{i2}),
quando expandimos pela coluna 2; em geral a contribuição de cada elemento a_{ij} é (-1)^{i+j} a_{ij} vezes o determinante do menor M_{ij} (a matriz que sobra ao remover a linha i e a coluna j).

Passo 3

Identificar os elementos da coluna 2:
a_{12}=x^{2}+x+1,\qquad a_{22}=x+2,\qquad a_{32}=0.
Como a_{32}=0, a terceira contribuição é nula e restam apenas as duas primeiras contribuições. Escrevo então
\det = (-1)^{1+2}(x^{2}+x+1)\det(M_{12}) + (-1)^{2+2}(x+2)\det(M_{22}).
Os sinais dados por (-1)^{1+2}=-1 e (-1)^{2+2}=+1.

Passo 4

Calcular o menor M_{12}: é a matriz obtida ao remover a linha 1 e a coluna 2:
M_{12}=\begin{pmatrix}x^{2}-1 & 3\\[4pt] x-4 & x^{2}\end{pmatrix}.
O determinante de uma 2\times2 é \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Assim,
\det(M_{12})=(x^{2}-1)\cdot x^{2}-3\cdot(x-4).
Faço as operações dentro:
\det(M_{12})=x^{4}-x^{2}-3x+12.]

Passo 5

Calcular o menor M_{22}: é a matriz obtida ao remover a linha 2 e a coluna 2:
M_{22}=\begin{pmatrix}x+1 & x\\[4pt] x-4 & x^{2}\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula ad-bc,
\det(M_{22})=(x+1)\cdot x^{2}-x\cdot(x-4).
Efetuando as multiplicações e simplificando:
\det(M_{22})=x^{3}+x^{2}-x^{2}+4x = x^{3}+4x.]

Passo 6

Agora volto à expansão por cofatores e substituo os menores já calculados:
\det = -\,(x^{2}+x+1)\,(x^{4}-x^{2}-3x+12) + (x+2)\,(x^{3}+4x).
Este já é uma expressão correta em x, mas vou simplificá-la expandindo e somando os termos para obter um polinômio canônico.

Passo 7

Calculo primeiro o produto A=(x^{2}+x+1)(x^{4}-x^{2}-3x+12). Faço a multiplicação termo a termo:
\begin{aligned} x^{2}\cdot(x^{4}-x^{2}-3x+12) &= x^{6}-x^{4}-3x^{3}+12x^{2},\\\ x\cdot(x^{4}-x^{2}-3x+12) &= x^{5}-x^{3}-3x^{2}+12x,\\\\ 1\cdot(x^{4}-x^{2}-3x+12) &= x^{4}-x^{2}-3x+12. \end{aligned}
Somando as três linhas:
A = x^{6}+x^{5}+\bigl(-x^{4}+x^{4}\bigr)+\bigl(-3x^{3}-x^{3}\bigr)+\bigl(12x^{2}-3x^{2}-x^{2}\bigr)+\bigl(12x-3x\bigr)+12.
Simplificando os termos semelhantes:
A = x^{6}+x^{5}-4x^{3}+8x^{2}+9x+12.

Passo 8

Calculo o outro produto B=(x+2)(x^{3}+4x):
\begin{aligned} x\cdot(x^{3}+4x) &= x^{4}+4x^{2},\\\\ 2\cdot(x^{3}+4x) &= 2x^{3}+8x, \end{aligned}
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B = x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x.

Passo 9

Volto à expressão do determinante que era -A + B. Substituo A e B:
\det = -\bigl(x^{6}+x^{5}-4x^{3}+8x^{2}+9x+12\bigr) + \bigl(x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x\bigr).
Distribuo o sinal negativo e somo termo a termo:
\det = -x^{6}-x^{5}+x^{4}+\bigl(4x^{3}+2x^{3}\bigr)+\bigl(-8x^{2}+4x^{2}\bigr)+\bigl(-9x+8x\bigr)-12.
Simplificando os coeficientes:
\det = -x^{6}-x^{5}+x^{4}+6x^{3}-4x^{2}-x-12.

Resposta

-x^{6}-x^{5}+x^{4}+6x^{3}-4x^{2}-x-12

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