A matriz \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right)_{3 \times 3} é definida de tal modo que (-1)^{\mathrm{i}+\mathrm{j}} para \mathrm{i} \neq \mathrm{j} e 0 se \mathrm{i}=\mathrm{j}. Então, A é igual a
a. \quad\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right)
b. \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=(a_{ij})_{3\times3} com as regras:
  • a_{ij}=(-1)^{i+j} se i\neq j.
  • a_{ii}=0 para i=1,2,3.
A pergunta: qual das alternativas corresponde a A? (alternativa (a) ou (b)).

Passo 2

Entender a potência de (-1) é crucial. A regra é simples:
  • (-1)^n=1 se n for par.
  • (-1)^n=-1 se n for ímpar.
Aqui vamos usar essa regra com n=i+j: se i+j é par, a_{ij}=1; se i+j é ímpar, a_{ij}=-1. Lembre-se que as entradas na diagonal já foram dadas como zero.

Passo 3

Calcular as entradas fora da diagonal uma a uma, mostrando i+j e o valor:
a_{12}=(-1)^{1+2}=(-1)^3=-1.
a_{13}=(-1)^{1+3}=(-1)^4=1.
a_{21}=(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1.
a_{23}=(-1)^{2+3}=(-1)^5=-1.
a_{31}=(-1)^{3+1}=(-1)^4=1.
a_{32}=(-1)^{3+2}=(-1)^5=-1.

Passo 4

As entradas da diagonal são, por definição do enunciado:
a_{11}=0,\quad a_{22}=0,\quad a_{33}=0.

Passo 5

Montando a matriz com todas as entradas calculadas:
A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 0 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde exatamente à alternativa (a).]

Resposta

(a)

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