Responda V ou F nas afirmações abaixo. Se verdadeiro prove, se falso dê um contra exemplo.
(h) Se A é invertível e A^{-1}=A^{\prime} então \operatorname{det} A= \pm 1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é invertível (portanto \det A \neq 0).
  • A^{-1}=A^{\prime} (isto é, a inversa de A é a transposta de A).
O que se pede: decidir se a afirmação "então \det A=\pm 1" é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar contraexemplo.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades básicas e muito usadas do determinante (vou explicar o porquê delas, para você poder usar na prova):
  • Propriedade 1: para qualquer matriz quadrada M vale \det(M^{\prime})=\det(M). Explicação: o determinante é invariante pela operação de transposta; em termos práticos, permutar linhas por colunas não altera o valor numérico do determinante.
  • Propriedade 2: para matriz invertível M vale \det(M^{-1})=\dfrac{1}{\det(M)}. Explicação: como \,M^{-1}M=I e \det transforma produto em produto ( \det(XY)=\det X\cdot\det Y), temos \det(M^{-1})\det(M)=\det(I)=1, daí \det(M^{-1})=1/\det(M).
Ambas são fórmulas padrão que você deve decorar e saber justificar rapidamente numa prova.

Passo 3

Aplicar determinante à igualdade dada A^{-1}=A^{\prime}. Usando as propriedades do passo anterior:
\det(A^{-1})=\det(A^{\prime}).
Pelo item da propriedade 1, \det(A^{\prime})=\det(A). Pelo item da propriedade 2, \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}. Substituindo:
\dfrac{1}{\det(A)}=\det(A).

Passo 4

Resolver a equação \dfrac{1}{\det(A)}=\det(A). Multiplicando ambos os lados por \det(A) (lembrando que \det(A)\neq0 já que A é invertível):
1=\det(A)^2.
Ou seja,
\det(A)^2=1.

Passo 5

Da equação \det(A)^2=1 segue que \det(A)=1 ou \det(A)=-1. Portanto \det(A)=\pm1. (Observação: se o contexto for um corpo de característica 2 então 1=-1 e a equação dá \det(A)=1, mas isso não contradiz a afirmação \det(A)=\pm1; em campos usuais como \mathbb{R} ou \mathbb{Q} a conclusão é exatamente \pm1.)

Passo 6

Conclusão prática para a prova: dada a hipótese A^{-1}=A^{\prime}, basta aplicar det em ambos os lados e usar as duas propriedades mencionadas para obter \det(A)^2=1, de onde surge imediatamente \det(A)=\pm1. Está provado.

Resposta

V

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