Responda V ou F nas afirmações abaixo. Se verdadeiro prove, se falso dê um contra exemplo.
(h) Se
é invertível e
então
.
(h) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é invertível (portanto ). -
(isto é, a inversa de é a transposta de ).
O que se pede: decidir se a afirmação "então
" é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar contraexemplo.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades básicas e muito usadas do determinante (vou explicar o porquê delas, para você poder usar na prova):
- Propriedade 1: para qualquer matriz quadrada
vale . Explicação: o determinante é invariante pela operação de transposta; em termos práticos, permutar linhas por colunas não altera o valor numérico do determinante. - Propriedade 2: para matriz invertível
vale . Explicação: como e transforma produto em produto ( ), temos , daí .
Ambas são fórmulas padrão que você deve decorar e saber justificar rapidamente numa prova.
Passo 3
Aplicar determinante à igualdade dada
. Usando as propriedades do passo anterior:
Pelo item da propriedade 1,
. Pelo item da propriedade 2,
. Substituindo:
Passo 4
Resolver a equação
. Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
já que
é invertível):
Ou seja,
Passo 5
Da equação
segue que
ou
. Portanto
. (Observação: se o contexto for um corpo de característica
então
e a equação dá
, mas isso não contradiz a afirmação
; em campos usuais como
ou
a conclusão é exatamente
.)
Passo 6
Conclusão prática para a prova: dada a hipótese
, basta aplicar det em ambos os lados e usar as duas propriedades mencionadas para obter
, de onde surge imediatamente
. Está provado.
Resposta
V