Para cada determinante abaixo, dê sua expressão na variável x ou seu valor numérico, dependendo do caso.
\left|\begin{array}{cccc}1 / 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 1 / 3 & 0 & 0 \\\\ -1 & 2 & 1 / 5 & 0 \\\\ 1 & 4 & 6 & 1 / 7\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz 4\times4
\left|\begin{array}{cccc} 1/2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 1/3 & 0 & 0 \\\\ -1 & 2 & 1/5 & 0 \\\\ 1 & 4 & 6 & 1/7 \end{array}\right|.
Informações relevantes fornecidas:
  • É um determinante de ordem 4.
  • Muitos elementos acima da diagonal principal são zeros: as entradas (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) valem zero.
  • O objetivo é calcular o valor numérico desse determinante.

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que vou usar: expansão de Laplace (cofatores) aplicada a uma linha ou coluna com muitos zeros. Regra de Laplace para expansão pela linha i: \det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}), onde M_{ij} é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j. Quando muitos a_{ij} são zero, só restam poucos termos na soma, o que simplifica muito o cálculo. Aqui a primeira linha tem apenas a_{11}\neq0, então a expansão pela primeira linha é especialmente simples.

Passo 3

Expansão pela primeira linha. Denotando o determinante pedido por D, pela regra de Laplace pela linha 1:
D = (1/2)\cdot(-1)^{1+1}\det\!\left(\begin{array}{ccc} 1/3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1/5 & 0 \\\\ 4 & 6 & 1/7 \end{array}\right)
Como (-1)^{1+1}=1, obtemos
D = \tfrac{1}{2}\det(B),
onde
B=\begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1/5 & 0 \\\\ 4 & 6 & 1/7 \end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicar novamente expansão de Laplace no determinante de B. A primeira linha de B é \bigl(1/3,0,0\bigr), então só o primeiro termo contribui:
\det(B) = (1/3)\cdot(-1)^{1+1}\det\!\left(\begin{array}{cc} 1/5 & 0 \\\\ 6 & 1/7 \end{array}\right) = \tfrac{1}{3}\det\text{(C)},
onde
C=\begin{pmatrix}1/5 & 0 \\[4pt] 6 & 1/7\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o determinante 2\times2 de C. Para uma matriz \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vale \det=\,ad-bc. Aqui:
\det\text{(C)}=\left(\tfrac{1}{5}\right)\left(\tfrac{1}{7}\right)-0\cdot6=\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{7}.
Logo
\det(B)=\tfrac{1}{3}\cdot\left(\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{7}\right)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{7}.

Passo 6

Retornando a D:
D=\tfrac{1}{2}\det(B)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{7}.
Multiplicando os denominadores:
2\cdot3\cdot5\cdot7 = 210,
portanto
D=\tfrac{1}{210}.
Observação rápida: isso coincide com a propriedade geral de matrizes triangulares: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{7} e o produto dá o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{1}{210}

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