Para cada determinante abaixo, dê sua expressão na variável x ou seu valor numérico, dependendo do caso.
\left|\begin{array}{ccc}3- & 1 & 7 \\\\ 0 & 2 & 6 \\\\ -4 & 5 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico do determinante da matriz 3\times3 cujas entradas são (peguei estes números do enunciado):
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 7\\[4pt] 0 & 2 & 6\\[4pt] -4 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
A tarefa é apenas obter o valor numérico do determinante dessa matriz.]

Passo 2

Vou explicar uma forma direta e prática para calcular determinantes 3\times3: a regra de Sarrus. É um truque muito usado em provas porque é rápido e não exige desenvolver cofatores. A regra diz o seguinte.
Dada a matriz
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
escreve-se as duas primeiras colunas novamente à direita e soma-se o produto das três diagonais que vão da esquerda superior para a direita inferior, subtraindo o produto das três diagonais que vão da direita superior para a esquerda inferior. Em fórmula:
\det(A)=a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).
Aqui a,b,c,d,e,f,g,h,i são os nove elementos da matriz, posicionados conforme a escrita acima.]

Passo 3

Agora aplico a regra de Sarrus à nossa matriz. Identificando os elementos:
a=3,\quad b=-1,\quad c=7,\quad d=0,\quad e=2,\quad f=6,\quad g=-4,\quad h=5,\quad i=1.
Substituo na fórmula de Sarrus:
\det(A)=a e i + b f g + c d h - (c e g + a f h + b d i).

Passo 4

Calculo cada termo separadamente (mostrando as contas passo a passo):
a e i = 3\cdot 2\cdot 1 = 6,
b f g = (-1)\cdot 6\cdot (-4) = (-1)\cdot(-24)=24,
c d h = 7\cdot 0\cdot 5 = 0,
c e g = 7\cdot 2\cdot (-4) = 14\cdot(-4) = -56,
a f h = 3\cdot 6\cdot 5 = 18\cdot 5 = 90,
b d i = (-1)\cdot 0\cdot 1 = 0.

Passo 5

Agora somo e subtraio conforme a fórmula:
\det(A)=\underbrace{6+24+0}_{=30}-\underbrace{(-56+90+0)}_{=34}.
Note que -56+90=34. Então
\det(A)=30-34=-4.

Resposta

-4

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