Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(a) Distribuição Binomial com parâmetros
e
(a) Distribuição Binomial com parâmetros
Passo 1
O enunciado pede para calcular a esperança matemática e a variância de
. O conteúdo que vamos usar é:
– definição de variável de Bernoulli,
– decomposição da binomial como soma de Bernoullis independentes,
– propriedade de linearidade da esperança,
– propriedade de soma de variâncias para variáveis independentes.
– definição de variável de Bernoulli,
– decomposição da binomial como soma de Bernoullis independentes,
– propriedade de linearidade da esperança,
– propriedade de soma de variâncias para variáveis independentes.
Passo 2
Seja
o número de sucessos em
ensaios de Bernoulli de parâmetro
. Podemos escrever
onde cada
é independente e
. Para cada
, a massa de probabilidade é
Passo 3
Primeiro calculemos
e
.
Usando a definição de esperança em variável discreta,
Usando a definição de esperança em variável discreta,
Em seguida,
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Passo 4
Como
e os
são independentes, temos:
– pela linearidade da esperança,
– pela linearidade da esperança,
– pela soma de variâncias de variáveis independentes,