Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(a) Distribuição Binomial com parâmetros n \in \mathbb{N} e p \in(0,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança matemática e a variância de X\sim \mathrm{Binomial}(n,p). O conteúdo que vamos usar é:
– definição de variável de Bernoulli,
– decomposição da binomial como soma de Bernoullis independentes,
– propriedade de linearidade da esperança,
– propriedade de soma de variâncias para variáveis independentes.

Passo 2

Seja X o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli de parâmetro p. Podemos escrever
X = \sum_{i=1}^{n} X_i
onde cada X_i é independente e X_i\sim \mathrm{Bernoulli}(p). Para cada i, a massa de probabilidade é
P(X_i=1)=p, \quad P(X_i=0)=1-p.

Passo 3

Primeiro calculemos \mathbb{E}[X_i] e \mathrm{Var}(X_i).
Usando a definição de esperança em variável discreta,
\mathbb{E}[X_i] = 0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p.
Em seguida,
\mathbb{E}[X_i^2] = 0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p,
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\mathrm{Var}(X_i) = \mathbb{E}[X_i^2] - \bigl(\mathbb{E}[X_i]\bigr)^2 = p - p^2 = p\,(1-p).

Passo 4

Como X=\sum_{i=1}^n X_i e os X_i são independentes, temos:
– pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = \sum_{i=1}^n p = n\,p.
– pela soma de variâncias de variáveis independentes,
\mathrm{Var}(X) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) = \sum_{i=1}^n p(1-p) = n\,p\,(1-p).

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}[X]=n\,p,\quad \mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p).

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