Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(b) Distribuição Geométrica com parâmetro p \in(0,1)

Passo 1

O enunciado pede para a distribuição geométrica com parâmetro p\in(0,1) calcular a esperança \mathbb{E}[X] e a variância \mathrm{Var}(X), apresentando demonstrações claras. A distribuição geométrica que usamos aqui é a do número de ensaios até o primeiro sucesso, isto é,
P(X=n)=p\,(1-p)^{n-1},\quad n=1,2,3,\dots
Vamos usar séries infinitas e propriedades da derivação de séries.

Passo 2

Primeiro lembramos a série geométrica básica: para \lvert r\rvert<1,
\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r}.
Derivando ambos os lados em relação a r, obtemos
\sum_{k=1}^{\infty}k\,r^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^2}.
Multiplicando por r, fica
\sum_{k=1}^{\infty}k\,r^k=\frac{r}{(1-r)^2}.

Passo 3

Para calcular \mathbb{E}[X] escrevemos
\mathbb{E}[X] =\sum_{n=1}^{\infty}n\,P(X=n) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,p\,(1-p)^{n-1}.
Fazendo r=1-p, temos
\mathbb{E}[X] =p\sum_{n=1}^{\infty}n\,r^{n-1} =p\cdot\frac{1}{(1-r)^2} =p\cdot\frac{1}{p^2} =\frac1p.

Passo 4

Agora precisamos de \mathbb{E}[X^2]. Observe que
\mathbb{E}[X^2] =\sum_{n=1}^{\infty}n^2\,p\,r^{n-1}.
Para achar \sum n^2r^{n-1}, partimos de
\sum_{n=1}^{\infty}n\,r^n=\frac{r}{(1-r)^2}
e derivamos em r:
\sum_{n=1}^{\infty}n^2\,r^{n-1} =\frac{(1-r)^2 - 2r(1-r)}{(1-r)^4} =\frac{1-r-2r}{(1-r)^3} =\frac{1-3r}{(1-r)^3}.
Multiplicando por r para ajustar o expoente, temos
\sum_{n=1}^{\infty}n^2\,r^n =\frac{r(1-3r)}{(1-r)^3}.
Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}n^2\,r^{n-1} =\frac{1-3r}{(1-r)^3}.
Então
\mathbb{E}[X^2] =p\sum_{n=1}^{\infty}n^2\,r^{n-1} =p\cdot\frac{1-3r}{(1-r)^3} =p\cdot\frac{1-3(1-p)}{p^3} =p\cdot\frac{3p-2}{p^3} =\frac{3p-2}{p^2}.

Passo 5

A variância satisfaz
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^2] - \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 =\frac{3p-2}{p^2} - \frac{1}{p^2} =\frac{3p-2-1}{p^2} =\frac{3p-3}{p^2} =\frac{3(p-1)}{p^2} =\frac{1-p}{p^2}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}[X]=\frac1p,\quad \mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}.

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