Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(b) Distribuição Geométrica com parâmetro
(b) Distribuição Geométrica com parâmetro
Passo 1
O enunciado pede para a distribuição geométrica com parâmetro
calcular a esperança
e a variância
, apresentando demonstrações claras. A distribuição geométrica que usamos aqui é a do número de ensaios até o primeiro sucesso, isto é,
Vamos usar séries infinitas e propriedades da derivação de séries.
Passo 2
Primeiro lembramos a série geométrica básica: para
,
Derivando ambos os lados em relação a
, obtemos
Multiplicando por
, fica
Passo 3
Para calcular
escrevemos
Fazendo
, temos
Passo 4
Agora precisamos de
. Observe que
Para achar
, partimos de
e derivamos em
:
Multiplicando por
para ajustar o expoente, temos
Logo,
Então
Passo 5
A variância satisfaz