(1 ponto) Seja X uma variável aleatória com função densidade f(x ; \gamma)=(\gamma+1) x^{\gamma}, 0<x<1 e parâmetro \gamma>-1. Considere

\begin{array}{lllll}0.5 & 0.5 & 0.4 & 0.6 & 0.7\end{array}

uma amostra observada de X. Assinale a alternativa correspondente à estimativa de máxima verossimilhança para \gamma desta amostra.
a. 0.53
b. 0.54
c. 0.58
d. 0.37
e. 2.70

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=5 de uma variável aleatória X com densidade
f(x;\gamma)=(\gamma+1)\,x^{\gamma},\quad 0<x<1,\;\gamma>-1,
e pede a estimativa de máxima verossimilhança (MLE) para \gamma.

Passo 2

Escrevemos a verossimilhança e seu logaritmo. Como as observações são independentes,
L(\gamma) =\prod_{i=1}^{5}(\gamma+1)\,x_i^{\gamma} =(\gamma+1)^{5}\,\prod_{i=1}^{5}x_i^{\gamma}.
O logaritmo da verossimilhança é
\ell(\gamma) =5\ln(\gamma+1)+\gamma\sum_{i=1}^{5}\ln x_i.

Passo 3

Para encontrar o MLE, igualamos a derivada de \ell(\gamma) a zero:
\frac{d\ell}{d\gamma} =\frac{5}{\gamma+1}+\sum_{i=1}^{5}\ln x_i =0.
Isolando \gamma, obtemos
\gamma+1 =-\frac{5}{\sum_{i=1}^{5}\ln x_i} \quad\Longrightarrow\quad \hat\gamma =-1-\frac{5}{\sum_{i=1}^{5}\ln x_i}.

Passo 4

Calculamos \sum_{i=1}^{5}\ln x_i para os dados x=(0{.}5,0{.}5,0{.}4,0{.}6,0{.}7):
\ln(0{.}5)=-0{.}6931\quad(\text{duas vezes}),\quad \ln(0{.}4)=-0{.}9163,\quad \ln(0{.}6)=-0{.}5108,\quad \ln(0{.}7)=-0{.}3567.
Somando,
\sum_{i=1}^{5}\ln x_i \approx -0{.}6931\times2 \;-\;0{.}9163\;-\;0{.}5108\;-\;0{.}3567 \approx -3{.}17.

Passo 5

Substituindo em \hat\gamma, temos
\hat\gamma =-1 - \frac{5}{-3{.}17} \approx -1 +1{.}577 \approx 0{.}577.
Arredondando, \hat\gamma\approx0{.}58, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c. 0.58

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