Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(c) Distribuição Binomial Negativa com parâmetros r \in \mathbb{N} e p \in(0,1)

Passo 1

O enunciado pede a esperança e a variância de uma variável aleatória Y que segue a distribuição Binomial Negativa com parâmetros r\in\mathbb{N} e p\in(0,1). Nesta parametrização,
P(Y=k)=\binom{k-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{\,k-r},\quad k=r,r+1,\dots
Queremos calcular E(Y) e \mathrm{Var}(Y). Vamos usar a interpretação de Y como soma de r variáveis Geométricas independentes de parâmetro p.

Passo 2

Seja X_i o número de ensaios necessários para obter a i-ésima vitória após a (i-1)-ésima. Pelo caráter de “memória curta” da distribuição Geométrica, cada X_i é iid com
P(X_i=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\dots
Nesse modelo,
Y=\sum_{i=1}^{r}X_i.
Como X_1,\dots,X_r são independentes, vale
E(Y)=\sum_{i=1}^rE(X_i), \qquad \mathrm{Var}(Y)=\sum_{i=1}^r\mathrm{Var}(X_i).

Passo 3

Cálculo de E(X_i).
E(X_i) =\sum_{k=1}^\infty k\,(1-p)^{k-1}p =p\sum_{k=1}^\infty kq^{\,k-1},
onde q=1-p. Usa-se o fato
\sum_{k=1}^\infty kq^{\,k-1}=\frac1{(1-q)^2}.
Como 1-q=p, obtemos
E(X_i) =p\cdot\frac1{p^2} =\frac1p.
Logo
E(Y)=\sum_{i=1}^rE(X_i) =r\cdot\frac1p =\frac rp.

Passo 4

Cálculo de \mathrm{Var}(X_i). Primeiro obtemos E(X_i^2):
E(X_i^2) =\sum_{k=1}^\infty k^2q^{\,k-1}p =p\sum_{k=1}^\infty k^2q^{\,k-1}.
Sabe-se que
\sum_{k=1}^\infty k^2q^{\,k-1} =\frac{1+q}{(1-q)^3}.
Substituindo 1-q=p e q=1-p resulta
E(X_i^2) =p\cdot\frac{1+q}{p^3} =\frac{1+q}{p^2} =\frac{2-p}{p^2}.
Então
\mathrm{Var}(X_i) =E(X_i^2)-[E(X_i)]^2 =\frac{2-p}{p^2}-\frac1{p^2} =\frac{1-p}{p^2}.
Como os X_i são independentes,
\mathrm{Var}(Y) =\sum_{i=1}^r\mathrm{Var}(X_i) =r\cdot\frac{1-p}{p^2}.

Resposta

E(Y)=\dfrac{r}{p}.
\mathrm{Var}(Y)=\dfrac{r\,(1-p)}{p^2}.

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