Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(c) Distribuição Binomial Negativa com parâmetros
e
(c) Distribuição Binomial Negativa com parâmetros
Passo 1
O enunciado pede a esperança e a variância de uma variável aleatória
que segue a distribuição Binomial Negativa com parâmetros
e
. Nesta parametrização,
Queremos calcular
e
. Vamos usar a interpretação de
como soma de
variáveis Geométricas independentes de parâmetro
.
Passo 2
Seja
o número de ensaios necessários para obter a
-ésima vitória após a
-ésima. Pelo caráter de “memória curta” da distribuição Geométrica, cada
é iid com
Nesse modelo,
Como
são independentes, vale
Passo 3
Cálculo de
.
onde
. Usa-se o fato
Como
, obtemos
Logo
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro obtemos
:
Sabe-se que
Substituindo
e
resulta
Então
Como os
são independentes,