Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(d) Distribuição de Poisson com parâmetro
(d) Distribuição de Poisson com parâmetro
Passo 1
O enunciado pede para uma variável aleatória
com distribuição de Poisson de parâmetro
que calculemos
– a esperança matemática
– a variância .
Vamos usar as somas de séries que definem e
, mais a identidade
– a esperança matemática
– a variância
Vamos usar as somas de séries que definem
Passo 2
Definimos a função massa de probabilidade
e escrevemos
Na soma, note que para
o termo é zero, e para
podemos reindexar:
Logo
Passo 3
Para a variância, usamos
. Primeiro obtemos
De modo similar reindexamos para
:
logo
Sabendo que
, segue
Passo 4
Por fim,