Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(d) Distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0

Passo 1

O enunciado pede para uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro \lambda>0 que calculemos
– a esperança matemática \mathbb{E}[X]
– a variância \mathrm{Var}(X).
Vamos usar as somas de séries que definem \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[X^2], mais a identidade
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{\lambda}.

Passo 2

Definimos a função massa de probabilidade
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\dots
e escrevemos
\mathbb{E}[X] =\sum_{k=0}^{\infty}k\,P(X=k) =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}k\,\frac{\lambda^k}{k!}.
Na soma, note que para k=0 o termo é zero, e para k\ge1 podemos reindexar:
\sum_{k=1}^{\infty}k\,\frac{\lambda^k}{k!} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^k}{(k-1)!} =\lambda\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!} =\lambda\,e^{\lambda}.
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\mathbb{E}[X] =e^{-\lambda}\,\bigl(\lambda\,e^{\lambda}\bigr) =\lambda.

Passo 3

Para a variância, usamos \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2. Primeiro obtemos
\mathbb{E}[X(X-1)] =\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)\,P(X=k) =e^{-\lambda}\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)\,\frac{\lambda^k}{k!}.
De modo similar reindexamos para k\ge2:
\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)\,\frac{\lambda^k}{k!} =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^k}{(k-2)!} =\lambda^2\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!} =\lambda^2\,e^{\lambda},
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\mathbb{E}[X(X-1)] =e^{-\lambda}\,\bigl(\lambda^2\,e^{\lambda}\bigr) =\lambda^2.
Sabendo que X^2=X(X-1)+X, segue
\mathbb{E}[X^2] =\mathbb{E}[X(X-1)]+\mathbb{E}[X] =\lambda^2+\lambda.

Passo 4

Por fim,
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2 =(\lambda^2+\lambda)-\lambda^2 =\lambda.

Resposta

\displaystyle \mathbb{E}[X]=\lambda
\displaystyle \mathrm{Var}(X)=\lambda

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