Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(e) Distribuição Exponencial com parâmetro
(e) Distribuição Exponencial com parâmetro
Passo 1
O enunciado pede a esperança matemática
e a variância
de uma variável aleatória
que segue a distribuição Exponencial com parâmetro
.
Conteúdo usado: definição de momento de ordem ,
Conteúdo usado: definição de momento de ordem
e fórmula da variância
além de integração por partes para calcular integrais impróprias.
Passo 2
Calcular a esperança
Aplicando integração por partes com
e
:
Então
Passo 3
Calcular o segundo momento
Novamente, por partes, seja
e
:
Dessa forma
Mas já sabemos que
logo
Passo 4
Usar a definição de variância: