Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(e) Distribuição Exponencial com parâmetro \lambda>0

Passo 1

O enunciado pede a esperança matemática E[X] e a variância \mathrm{Var}(X) de uma variável aleatória X que segue a distribuição Exponencial com parâmetro \lambda>0.
Conteúdo usado: definição de momento de ordem k,
E[X^k] = \int_{0}^{\infty} x^k f(x)\,dx,
e fórmula da variância
\mathrm{Var}(X)=E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2,
além de integração por partes para calcular integrais impróprias.

Passo 2

Calcular a esperança
E[X] =\int_{0}^{\infty} x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty} x\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Aplicando integração por partes com u=x e dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx:
du=dx, \quad v=-e^{-\lambda x}.
Então
E[X] =\Bigl[-x e^{-\lambda x}\Bigr]_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\,dx =0 + \Bigl[-\tfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{\lambda}.

Passo 3

Calcular o segundo momento
E[X^2] =\int_{0}^{\infty} x^2\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Novamente, por partes, seja u=x^2 e dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx:
du=2x\,dx, \quad v=-e^{-\lambda x}.
Dessa forma
E[X^2] =\Bigl[-x^2 e^{-\lambda x}\Bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2x\,e^{-\lambda x}\,dx =0 + 2\int_{0}^{\infty} x\,e^{-\lambda x}\,dx.
Mas já sabemos que
\int_{0}^{\infty} x\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{\lambda^2},
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E[X^2] = 2 \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2}.

Passo 4

Usar a definição de variância:
\mathrm{Var}(X) =E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2 =\frac{2}{\lambda^2} - \Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^2 =\frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} =\frac{1}{\lambda^2}.

Resposta

E[X]=\dfrac{1}{\lambda}
\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}

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