Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(f) Distribuição Normal (ou Gaussiana) com média
e variância
(f) Distribuição Normal (ou Gaussiana) com média
Passo 1
O enunciado pede para obter a esperança e a variância de uma variável
que segue a distribuição Normal com média
e variância
. O conteúdo envolvido são definições de esperança e variância para variáveis contínuas, mais o uso de mudança de variável e propriedades da Normal padrão.
Passo 2
A função densidade de
é
Pela definição,
Para facilitar, fazemos a mudança de variável
Substituindo:
Passo 3
Sabemos que
e que o integrando
é função ímpar, logo
Portanto
Passo 4
A variância é definida por
Usando a mesma mudança
obtemos
Passo 5
Fica só avaliar o segundo momento da Normal padrão:
Como a derivada
da densidade
é
, fazemos
Assim
Resposta
Esperança:
Variância:
Variância: