Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(f) Distribuição Normal (ou Gaussiana) com média \mu \in \mathbb{R} e variância \sigma^{2}>0

Passo 1

O enunciado pede para obter a esperança e a variância de uma variável X que segue a distribuição Normal com média \mu e variância \sigma^{2}. O conteúdo envolvido são definições de esperança e variância para variáveis contínuas, mais o uso de mudança de variável e propriedades da Normal padrão.

Passo 2

A função densidade de X é
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\Bigl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr).
Pela definição,
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx.
Para facilitar, fazemos a mudança de variável
t=\frac{x-\mu}{\sigma}, \quad x=\mu+\sigma t, \quad dx=\sigma\,dt.
Substituindo:
\mathbb{E}[X] =\int_{-\infty}^{\infty}(\mu+\sigma t) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-t^{2}/2}\,\sigma\,dt =\mu\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dt +\sigma\int_{-\infty}^{\infty}t\,\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dt.

Passo 3

Sabemos que \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dt=1 e que o integrando t\,e^{-t^{2}/2} é função ímpar, logo
\int_{-\infty}^{\infty}t\,\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dt=0.
Portanto
\mathbb{E}[X]=\mu\cdot 1 + \sigma\cdot 0 = \mu.

Passo 4

A variância é definida por
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}\bigl[(X-\mu)^{2}\bigr] =\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)\,dx.
Usando a mesma mudança t=(x-\mu)/\sigma obtemos
\mathrm{Var}(X) =\int_{-\infty}^{\infty}(\sigma t)^{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-t^{2}/2}\,\sigma\,dt =\sigma^{2}\int_{-\infty}^{\infty}t^{2}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dt.

Passo 5

Fica só avaliar o segundo momento da Normal padrão:
\int_{-\infty}^{\infty}t^{2}\frac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dt.
Como a derivada \varphi'(t) da densidade \varphi(t)=\tfrac{e^{-t^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}} é
\varphi'(t)=-t\,\varphi(t), fazemos
\int t^{2}\varphi(t)\,dt =-\int t\,d\varphi(t) =-\bigl[t\,\varphi(t)\bigr]_{-\infty}^{\infty} +\int\varphi(t)\,dt =0+1=1.
Assim
\mathrm{Var}(X)=\sigma^{2}\cdot1=\sigma^{2}.

Resposta

Esperança: \mathbb{E}[X]=\mu
Variância: \mathrm{Var}(X)=\sigma^{2}

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