Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(g) Distribuição Gama com parâmetros
(forma) e
(escala).
(g) Distribuição Gama com parâmetros
Passo 1
O enunciado pede a esperança e a variância de uma variável aleatória
que segue a distribuição Gama com parâmetros de forma
e de escala
. Para resolver, vamos usar a definição da função densidade de probabilidade (pdf) da Gama, as propriedades da função Gama
e as fórmulas de momentos
e
.
e
Passo 2
A pdf da distribuição Gama é
Note que já está normalizada porque
onde fizemos a mudança de variável
.
Passo 3
Para a esperança calculamos
Fazendo
, o integral vira
Como
, obtemos
Passo 4
Para o segundo momento fazemos
Novamente com
vem
E
, logo
Passo 5
A variância é