Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(g) Distribuição Gama com parâmetros \alpha>0 (forma) e \beta>0 (escala).

Passo 1

O enunciado pede a esperança e a variância de uma variável aleatória X que segue a distribuição Gama com parâmetros de forma \alpha>0 e de escala \beta>0. Para resolver, vamos usar a definição da função densidade de probabilidade (pdf) da Gama, as propriedades da função Gama
\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\,dt
e as fórmulas de momentos
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx
e
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{0}^{\infty}x^{2}\,f(x)\,dx.

Passo 2

A pdf da distribuição Gama é
f(x)=\frac{1}{\beta^{\alpha}\,\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}e^{-x/\beta},\quad x>0.
Note que já está normalizada porque
\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\,dx =\beta^{\alpha}\int_{0}^{\infty}u^{\alpha-1}e^{-u}\,du =\beta^{\alpha}\,\Gamma(\alpha),
onde fizemos a mudança de variável u=x/\beta.

Passo 3

Para a esperança calculamos
\mathbb{E}[X] =\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx.
Fazendo u=x/\beta\implies x=\beta u,\;dx=\beta\,du, o integral vira
\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x/\beta}\,dx =\int_{0}^{\infty}(\beta u)^{\alpha}e^{-u}\,\beta\,du =\beta^{\alpha+1}\int_{0}^{\infty}u^{\alpha}e^{-u}\,du =\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1).
Como \Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha), obtemos
\mathbb{E}[X] =\frac{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} =\beta\;\alpha.

Passo 4

Para o segundo momento fazemos
\mathbb{E}[X^{2}] =\int_{0}^{\infty}x^{2}f(x)\,dx =\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}x^{\alpha+1}e^{-x/\beta}\,dx.
Novamente com u=x/\beta vem
\int_{0}^{\infty}x^{\alpha+1}e^{-x/\beta}\,dx =\beta^{\alpha+2}\int_{0}^{\infty}u^{\alpha+1}e^{-u}\,du =\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2).
E \Gamma(\alpha+2)=(\alpha+1)\alpha\,\Gamma(\alpha), logo
\mathbb{E}[X^{2}] =\frac{\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2)}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} =\beta^{2}\,\alpha(\alpha+1).

Passo 5

A variância é
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2} =\beta^{2}\,\alpha(\alpha+1)-(\beta\,\alpha)^{2} =\beta^{2}\bigl(\alpha^{2}+\alpha-\alpha^{2}\bigr) =\alpha\,\beta^{2}.

Resposta

\mathbb{E}[X]=\alpha\,\beta
\mathrm{Var}(X)=\alpha\,\beta^{2}

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