Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(h) Distribuição Qui-quadrado com k graus de liberdade, onde k \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança e a variância de uma variável aleatória X que segue a distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade ( k\in\mathbb{N}). Para isso, vamos explorar a relação entre a distribuição qui-quadrado e a distribuição Gama.

Passo 2

A densidade de probabilidade de X\sim\chi^2_{k} é dada por
f(x) = \frac{1}{2^{k/2}\,\Gamma\bigl(\frac{k}{2}\bigr)} \, x^{\frac{k}{2}-1} e^{-x/2}, \quad x>0.

Passo 3

Comparando com a densidade da distribuição Gama de parâmetros \alpha (forma) e \theta (escala),
g(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\theta^{\alpha}} \, x^{\alpha-1} e^{-x/\theta}, \quad x>0,
vemos que
\alpha = \frac{k}{2}, \qquad \theta = 2.
Para uma variável Y\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\theta) sabe-se que
E(Y)=\alpha\,\theta, \qquad \mathrm{Var}(Y)=\alpha\,\theta^{2}.

Passo 4

Bastac substituir \alpha=\tfrac{k}{2} e \theta=2:
E(X) = \frac{k}{2}\,\cdot 2 = k,
\mathrm{Var}(X) = \frac{k}{2}\,\cdot 2^{2} = 2k.

Resposta

E(X)=k, \qquad \mathrm{Var}(X)=2k.

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