Para cada uma das distribuições listadas a seguir, calcule a esperança matemática e a variância. Apresente as demonstrações de forma clara e justifique todos os passos utilizados.
(h) Distribuição Qui-quadrado com
graus de liberdade, onde
(h) Distribuição Qui-quadrado com
Passo 1
O enunciado pede para calcular a esperança e a variância de uma variável aleatória
que segue a distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade (
). Para isso, vamos explorar a relação entre a distribuição qui-quadrado e a distribuição Gama.
Passo 2
A densidade de probabilidade de
é dada por
Passo 3
Comparando com a densidade da distribuição Gama de parâmetros
(forma) e
(escala),
vemos que
Para uma variável
sabe-se que
Passo 4
Bastac substituir
e
: