Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
g) Distribuição binomial negativa de parâmetros mu e phi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a distribuição binomial negativa com parâmetros mu e phi. Isso significa que vamos precisar escrever a função de probabilidade, identificar o suporte (os possíveis valores que a variável pode assumir), calcular a esperança (média), a variância, além de definir os parâmetros e o espaço paramétrico dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial negativa. Ela geralmente modela o número de tentativas necessárias para obter um certo número de sucessos em experimentos de Bernoulli (sim ou não). Porém, dependendo da parametrização, podemos expressá-la de formas diferentes. No nosso caso, os parâmetros são mu e phi, que geralmente representam a média e o parâmetro de forma (às vezes relacionado à dispersão).

Passo 3

Função de Probabilidade
A função de probabilidade da binomial negativa na parametrização em termos de mu e phi pode ser escrita como:
P(X = k) = Gamma(k + phi)k! , Gamma(phi) ( mumu + phi )^k ( phimu + phi )^phi
Aqui, k representa o número de falhas até alcançar phi sucessos.
Explicação dos Componentes:
  • Gamma é a função gama, que generaliza o fatorial.
  • mumu + phi é a probabilidade de falha.
  • phimu + phi é a probabilidade de sucesso.

Passo 4

Suporte
O suporte da distribuição binomial negativa são todos os números inteiros não negativos. Ou seja, k = 0, 1, 2, 3, dots

Passo 5

Esperança (Média)
A esperança da binomial negativa nessa parametrização é dada por:
E[X] = muphi
Explicação:
Isso significa que, em média, teremos muphi falhas antes de alcançar os phi sucessos.

Passo 6

Variância
A variância é uma medida de quão dispersos os valores estão em relação à média. Para a binomial negativa, temos:
Var(X) = mu (mu + phi)phi^2

Passo 7

Parâmetros e Espaço Paramétrico
  • Parâmetros: mu e phi.
  • Espaço Paramétrico: Ambos os parâmetros devem ser positivos, ou seja, mu > 0 e phi > 0.
Isso garante que as probabilidades são bem definidas e que a distribuição faz sentido no contexto de contar tentativas até certos sucessos.

Resposta

A distribuição binomial negativa com parâmetros mu e phi possui:
  • Função de Probabilidade:
    P(X = k) = Gamma(k + phi)k! , Gamma(phi) ( mumu + phi )^k ( phimu + phi )^phi
  • Suporte: k = 0, 1, 2, dots
  • Esperança: E[X] = muphi
  • Variância: Var(X) = mu (mu + phi)phi^2
  • Parâmetros: mu > 0, phi > 0
  • Espaço Paramétrico: mu, phi in R^+

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