Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
g) Distribuição binomial negativa de parâmetros
e
.
g) Distribuição binomial negativa de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a distribuição binomial negativa com parâmetros
e
. Isso significa que vamos precisar escrever a função de probabilidade, identificar o suporte (os possíveis valores que a variável pode assumir), calcular a esperança (média), a variância, além de definir os parâmetros e o espaço paramétrico dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial negativa. Ela geralmente modela o número de tentativas necessárias para obter um certo número de sucessos em experimentos de Bernoulli (sim ou não). Porém, dependendo da parametrização, podemos expressá-la de formas diferentes. No nosso caso, os parâmetros são
e
, que geralmente representam a média e o parâmetro de forma (às vezes relacionado à dispersão).
Passo 3
Função de Probabilidade
A função de probabilidade da binomial negativa na parametrização em termos de
e
pode ser escrita como:
Aqui,
representa o número de falhas até alcançar
sucessos.
Explicação dos Componentes:
-
é a função gama, que generaliza o fatorial. -
é a probabilidade de falha. -
é a probabilidade de sucesso.
Passo 4
Suporte
O suporte da distribuição binomial negativa são todos os números inteiros não negativos. Ou seja,
Passo 5
Esperança (Média)
A esperança da binomial negativa nessa parametrização é dada por:
Explicação:
Isso significa que, em média, teremos falhas antes de alcançar os
sucessos.
Isso significa que, em média, teremos
Passo 6
Variância
A variância é uma medida de quão dispersos os valores estão em relação à média. Para a binomial negativa, temos:
Passo 7
Parâmetros e Espaço Paramétrico
- Parâmetros:
e . - Espaço Paramétrico: Ambos os parâmetros devem ser positivos, ou seja,
e .
Isso garante que as probabilidades são bem definidas e que a distribuição faz sentido no contexto de contar tentativas até certos sucessos.
Resposta
A distribuição binomial negativa com parâmetros
e
possui:
-
Função de Probabilidade:
-
Suporte:
-
Esperança:
-
Variância:
-
Parâmetros:
, -
Espaço Paramétrico: