Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
j) Distribuição Tweeedie de parâmetros mu, phi e p.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Distribuição Tweedie! A gente precisa escrever a função de densidade de probabilidade dessa distribuição, identificar o suporte (ou seja, os valores que a variável pode assumir), calcular a esperança (valor esperado) e a variância, além de listar os parâmetros envolvidos e o espaço onde esses parâmetros vivem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade e como a Distribuição Tweedie se encaixa nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a função de densidade de probabilidade (PDF) da Distribuição Tweedie. A Distribuição Tweedie faz parte de uma família de distribuições que inclui várias outras distribuições conhecidas, como a Poisson, a Gamma e a Inversa Gaussiana, dependendo dos valores dos seus parâmetros.
A PDF da Distribuição Tweedie não tem uma expressão fechada geral, mas pode ser representada na forma da família exponencial. A característica principal dessa distribuição é sua função de variância, que é dada por:
Var(Y) = phi mu^p
onde:
  • $ \mu $ é a esperança (valor esperado),
  • $ \phi $ é um parâmetro de dispersão,
  • $ p $ é o parâmetro de potência que define a distribuição específica dentro da família Tweedie.

Passo 3

Suporte: A Distribuição Tweedie é definida para valores positivos, ou seja, o suporte é $ y \in (0, \infty) $.
Esperança (Valor Esperado): A esperança da Distribuição Tweedie é diretamente o parâmetro $ \mu $:
y in (0, infty)
Variância: Como mencionamos na função de variância, ela é dada por:
mu
Isso mostra que a variância depende tanto de $ \mu $ quanto do parâmetro $ p $, além de ser escalada por $ \phi $.

Passo 4

Parâmetros:
  • $ \mu $: Esperança da distribuição.
  • $ \phi $: Parâmetro de dispersão.
  • $ p $: Parâmetro de potência que determina a forma específica da distribuição dentro da família Tweedie.
Espaço Paramétrico:
  • $ \mu > 0 $ (pois a distribuição é definida para valores positivos).
  • $ \phi > 0 $ (o parâmetro de dispersão também é positivo).
  • $ p $ pode variar, mas geralmente é considerado dentro de certos intervalos que garantem a validade da distribuição. Especificamente, a família Tweedie está bem definida para $ p \in \mathbb{R} $, mas em aplicações práticas, valores comuns de $ p $ estão entre 0 e 3.

Resposta

A Distribuição Tweedie possui:
  • Função de Densidade de Probabilidade: Representada na forma da família exponencial com função de variância $ Var(Y) = \phi \mu^p $.
  • Suporte: $ y \in (0, \infty) $.
  • Esperança: $ E(Y) = \mu $.
  • Variância: $ Var(Y) = \phi \mu^p $.
  • Parâmetros: $ \mu $ (esperança), $ \phi $ (dispersão) e $ p $ (potência).
  • Espaço Paramétrico: $ \mu > 0 $, $ \phi > 0 $ e $ p \in \mathbb{R} $.

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