Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
j) Distribuição Tweeedie de parâmetros
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j) Distribuição Tweeedie de parâmetros
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Distribuição Tweedie! A gente precisa escrever a função de densidade de probabilidade dessa distribuição, identificar o suporte (ou seja, os valores que a variável pode assumir), calcular a esperança (valor esperado) e a variância, além de listar os parâmetros envolvidos e o espaço onde esses parâmetros vivem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade e como a Distribuição Tweedie se encaixa nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a função de densidade de probabilidade (PDF) da Distribuição Tweedie. A Distribuição Tweedie faz parte de uma família de distribuições que inclui várias outras distribuições conhecidas, como a Poisson, a Gamma e a Inversa Gaussiana, dependendo dos valores dos seus parâmetros.
A PDF da Distribuição Tweedie não tem uma expressão fechada geral, mas pode ser representada na forma da família exponencial. A característica principal dessa distribuição é sua função de variância, que é dada por:
onde:
- $ \mu $ é a esperança (valor esperado),
- $ \phi $ é um parâmetro de dispersão,
- $ p $ é o parâmetro de potência que define a distribuição específica dentro da família Tweedie.
Passo 3
Suporte: A Distribuição Tweedie é definida para valores positivos, ou seja, o suporte é $ y \in (0, \infty) $.
Esperança (Valor Esperado): A esperança da Distribuição Tweedie é diretamente o parâmetro $ \mu $:
Variância: Como mencionamos na função de variância, ela é dada por:
Isso mostra que a variância depende tanto de $ \mu $ quanto do parâmetro $ p $, além de ser escalada por $ \phi $.
Passo 4
Parâmetros:
- $ \mu $: Esperança da distribuição.
- $ \phi $: Parâmetro de dispersão.
- $ p $: Parâmetro de potência que determina a forma específica da distribuição dentro da família Tweedie.
Espaço Paramétrico:
- $ \mu > 0 $ (pois a distribuição é definida para valores positivos).
- $ \phi > 0 $ (o parâmetro de dispersão também é positivo).
- $ p $ pode variar, mas geralmente é considerado dentro de certos intervalos que garantem a validade da distribuição. Especificamente, a família Tweedie está bem definida para $ p \in \mathbb{R} $, mas em aplicações práticas, valores comuns de $ p $ estão entre 0 e 3.
Resposta
A Distribuição Tweedie possui:
- Função de Densidade de Probabilidade: Representada na forma da família exponencial com função de variância $ Var(Y) = \phi \mu^p $.
- Suporte: $ y \in (0, \infty) $.
- Esperança: $ E(Y) = \mu $.
- Variância: $ Var(Y) = \phi \mu^p $.
- Parâmetros: $ \mu $ (esperança), $ \phi $ (dispersão) e $ p $ (potência).
- Espaço Paramétrico: $ \mu > 0 $, $ \phi > 0 $ e $ p \in \mathbb{R} $.