Para cada uma das distribuições de probabilidade abaixo escreva a função de probabilidade ou densidade probabilidade, identifique o suporte, a esperança, a variância, os parâmetros e o espaço paramétrico.
i) Distribuição inversa Gaussiana de parâmetros mu e sigma^2.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos que trabalhar com a Distribuição Inversa Gaussiana, que é uma distribuição de probabilidade definida pelos parâmetros mu e sigma^2. Precisamos escrever a função de densidade de probabilidade, identificar o suporte (os valores que a variável pode assumir), calcular a esperança (média), a variância, listar os parâmetros da distribuição e definir o espaço paramétrico (valores que os parâmetros podem assumir).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de densidade de probabilidade da Distribuição Inversa Gaussiana. A fórmula é:
f(x; mu, sigma^2) = ( sigma^22pi x^3 )^12 exp( -sigma^2(x - mu)^22mu^2x )
Essa função nos dá a probabilidade de a variável aleatória assumir o valor x.

Passo 3

Agora, vamos identificar o suporte da distribuição. O suporte é o conjunto de valores que a variável aleatória X pode assumir.
Para a Distribuição Inversa Gaussiana, o suporte é:
x > 0
Ou seja, X pode assumir qualquer valor positivo.

Passo 4

Vamos calcular a esperança (ou média) da distribuição. A esperança E[X] é dada por:
E[X] = mu
Então, a média da Distribuição Inversa Gaussiana é igual ao parâmetro mu.

Passo 5

Em seguida, vamos determinar a variância da distribuição. A variância Var[X] é:
Var[X] = sigma^2 mu^3
Isso mostra como a variância depende dos parâmetros sigma^2 e mu.

Passo 6

Agora, vamos listar os parâmetros da Distribuição Inversa Gaussiana. Eles são:
  • mu: parâmetro de localização (média)
  • sigma^2: parâmetro de escala (relacionado à variabilidade)

Passo 7

Por fim, vamos definir o espaço paramétrico, ou seja, os possíveis valores que os parâmetros podem assumir. Para a Distribuição Inversa Gaussiana:
  • mu > 0
  • sigma^2 > 0
Ambos os parâmetros devem ser positivos.

Resposta

A função de densidade de probabilidade da Distribuição Inversa Gaussiana é:
f(x; mu, sigma^2) = ( sigma^22pi x^3 )^12 exp( -sigma^2(x - mu)^22mu^2x )
  • Suporte: x > 0
  • Esperança: E[X] = mu
  • Variância: Var[X] = sigma^2 mu^3
  • Parâmetros: mu e sigma^2
  • Espaço Paramétrico: mu > 0 e sigma^2 > 0

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