Para cada equação, identifique:
  • Tipo da cônica (elipse, hipérbole ou circunferência).
  • Eixos, vértices, focos e excentricidade
4 x^{2}-9 y^{2}=36

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x^{2}-9y^{2}=36
e pede para identificarmos o tipo da cônica, seus eixos, vértices, focos e excentricidade. Vamos usar a forma canônica das hipérboles para resolver.

Passo 2

Para obter a forma canônica, dividimos ambos os lados por 36:
\frac{4x^{2}}{36}-\frac{9y^{2}}{36}=1
que simplifica para
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Daqui temos \displaystyle a^{2}=9 e \displaystyle b^{2}=4, ou seja, a=3 e b=2.

Passo 3

Comparando com a forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
vemos que é uma hipérbole com eixo transverso no eixo x e eixo conjugado no eixo y. O centro fica em (0,0).

Passo 4

Os vértices são os pontos no eixo transverso a uma distância a do centro, ou seja,
(\pm a,0)=(\pm3,0).

Passo 5

Para os focos usamos \displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+4=13, então
c=\sqrt{13}
e os focos são
(\pm c,0)=(\pm\sqrt{13},0).

Passo 6

A excentricidade de uma hipérbole é dada por
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}.

Resposta

Tipo da cônica: hipérbole.
Centro: (0,0).
Eixo transverso: eixo x.
Eixo conjugado: eixo y.
Vértices: (\pm3,0).
Focos: (\pm\sqrt{13},0).
Excentricidade: \displaystyle \frac{\sqrt{13}}{3}.

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