Para cada equação, identifique:
  • Tipo da cônica (elipse, hipérbole ou circunferência).
  • Eixos, vértices, focos e excentricidade
x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+9=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0
e pede que a gente identifique o tipo da cônica, seus eixos, vértices, focos e excentricidade. Vamos completar o quadrado para reconhecer sua forma canônica.

Passo 2

Agrupando e completando o quadrado em x e em y:
\begin{aligned} x^{2}+4x & = (x+2)^{2}-4,\\\ y^{2}-6y & = (y-3)^{2}-9. \end{aligned}
Substituindo na equação original:
(x+2)^{2}-4 \;+\;(y-3)^{2}-9 \;+\;9 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=4.

Passo 3

Comparando com a forma padrão
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
vemos que se trata de uma circunferência de centro
(h,k)=(-2,3)
e raio
r=2.

Passo 4

Para uma circunferência os eixos principais (que no caso são todas as direções de diâmetro) podem ser escolhidos como as direções horizontal e vertical que passam pelo centro. Os vértices (pontos extremos da circunferência) são então:
(-2\pm2,\;3) \;\Rightarrow\;(0,3)\text{ e }(-4,3),
(-2,\;3\pm2) \;\Rightarrow\;(-2,5)\text{ e }(-2,1).

Passo 5

Numa circunferência a excentricidade é
e=0,
e os focos coincidem com o centro. Logo os focos são ambos o ponto
(-2,3).

Resposta

Tipo da cônica: circunferência.
Centro: (-2,3).
Raio: 2.
Eixos principais: direções horizontal e vertical que passam pelo centro.
Vértices: (0,3), (-4,3), (-2,5) e (-2,1).
Focos: (-2,3) (duplo).
Excentricidade: 0.

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