Em cada equação abaixo pede-se:
i) Determine a solução do valor inicial;
ii) Determine o intervalo para o qual a EDO tem solução;
iii) Plot o gráfico da solução.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
f)
;
g)
.
i) Determine a solução do valor inicial;
ii) Determine o intervalo para o qual a EDO tem solução;
iii) Plot o gráfico da solução.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Temos sete EDOs com condições iniciais. Para cada uma pede-se: (i) a solução do valor inicial; (ii) o intervalo (em
) no qual a solução existe (o intervalo máximo que contém o ponto inicial); (iii) o gráfico (descrição do comportamento e assíntotas/monotonia). Lista das equações e condições iniciais fornecidas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 2
Método geral (aula rápida e prática): quando a EDO pode ser escrita como
e é possível separar as variáveis em produtos do tipo
, fazemos a separação, integramos ambos os lados e usamos a condição inicial para determinar a constante de integração. Sempre que eu usar uma primitiva conhecida, eu mostro como obtê-la (por substituição simples ou partes). Depois verifico singularidades (lugares onde a fórmula dá divisão por zero ou raiz negativa) para determinar o intervalo de existência máximo contendo o ponto inicial.
Passo 3
Equação:
Escrevemos . Separando:
Escrevemos
Explico: dividir por
é legal desde que
; aqui veremos se
chega a zero depois da solução.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
A primitiva à esquerda é
. À direita,
. Logo
Usando
obtemos
. Assim
Passo 5
Para ser solução válida, o denominador não pode ser zero:
As raízes desta quadrática são obtidas resolvendo
, que dá
e
. O ponto inicial
está entre essas raízes, então o intervalo máximo contendo
onde
é contínua é
. Comportamento/plot:
em
(denominador
), há assíntotas verticais em
e
com
ao aproximar-se desses pontos;
tem sinal de
(pois
), logo
cresce até
e depois decresce; valor máximo local em
.
Passo 6
Equação diferencial escrita em forma diferencial:
Reescrevo como derivada:
Separando:
Passo 7
Integramos:
Lado esquerdo:
. Lado direito: usar integração por partes para
. Tomando
temos
. Então
Multiplicando por
e usando
(então
) obtemos
Logo
Devemos escolher o ramo compatível com
, logo
na vizinhança de
.
Passo 8
A solução é real quando o radicando é não negativo:
Análise qualitativa:
, então
atinge único máximo em
com
. Como
quando
e
quando
, existem exatamente dois zeros
. Localizando numericamente (aproximação suficiente para prova):
,
. O intervalo máximo com o ponto
é
. Gráfico:
nesse intervalo; atinge máximo em
com
; tende a
quando
e torna-se não real fora do intervalo.
Passo 9
Equação:
É conveniente escrever como
Aqui reconhecemos
(substituição
).
Passo 10
Integrando:
Usando
dá
então
. Logo
Como
(negativo), escolhemos o ramo negativo:
Passo 11
A expressão dentro da raiz é
Portanto domínio máximo é todo
. Gráfico:
é negativa para todo
, simétrica em
(função de
), cresce em módulo com
lentamente (pelo log) — no infinito
muito devagar.
Passo 12
Equação:
Separamos:
Integramos lados:
. À direita
.
Passo 13
Temos a relação implícita
Usando
:
. Assim
Isto é uma equação quadrática em
, resolvendo:
Para escolher o ramo, avaliamos em
: discrim =
,
,
dá
ou
. Como
, devemos escolher o sinal “
”:
Passo 14
A expressão é real quando o discriminante
Análise:
. Para
temos
(domina
negativo), e para
temos
também (o termo
domina). Portanto existe um intervalo
contendo
em que
e fora dele
. Aproximações numéricas (suficientes para provas):
. Logo intervalo máximo contendo
é aproximadamente
. Gráfico: escolhemos a ramificação com sinal negativo;
; quando
em borda do intervalo,
tende a
(pois raiz
dá
); fora do intervalo a solução passa a ser complexa (inválida real).
Passo 15
Equação:
Integramos:
Lado esquerdo:
. Lado direito:
. Assim
Usando condição
: à esquerda
; à direita
. Logo
. Substituindo:
Multiplicando por
e simplificando com identidade
:
Passo 16
Da relação
, notamos que o lado direito está no intervalo
, mas
varia em
. Logo para que haja
real precisamos de
, ou seja
. Isto limita
a intervalos em torno dos pontos onde
é pequeno. Como a condição inicial está em
(onde
), o intervalo máximo contendo
é
numericamente
(contendo
). Para obter explicitamente
escolhemos a ramificação contínua que satisfaz
. Observação: em
temos
e
(múltiplo de
), logo
corresponde a
próximo de
. Para manter continuidade, usamos a solução
porque
principal está em
e
dá valores próximos de
quando argumento é pequeno (coerente com
no inicial). Assim
Gráfico:
é contínua nesse intervalo, atinge
, e tende a valores determinados pelos zeros/singularidades nas bordas onde
.
Passo 17
Equação:
Separação:
Lado esquerdo:
. Lado direito: com
,
temos
.
Passo 18
Fazendo a integração completa:
Usando
: à esquerda
, à direita
então
. Assim
Multiplicando por
:
Portanto
escolhendo o sinal positivo para coincidir com
.
Passo 19
É necessário
, i.e.
Logo o intervalo máximo contendo
é
(onde o denominador é positivo). Nas bordas
o denominador vai a zero e
(assíntotas verticais). Gráfico:
, cresce para infinito ao aproximar as bordas; é suave e tem derivada dada pela equação original.
Passo 20
Equação:
Separando:
Integramos ambos os lados. À esquerda
. À direita:
Portanto
Usando
temos
. Assim
Passo 21
Tomando a quarta raiz:
Como
escolhemos o sinal negativo:
Domínio: a expressão é bem definida para todo
, logo intervalo de existência é
. Gráfico:
para todo
, simétrico em
(função de
), cresce em módulo como
quando
grande.
Resposta
a)
Intervalo de existência:
. Gráfico:
em
, assíntotas verticais em
e
;
cresce até
e decresce depois.
b) (escolha do ramo positivo para
). Intervalo de existência:
com
(raízes de
). Gráfico:
no intervalo, máximo em
, tende a
nas bordas.
c) Intervalo de existência:
. Gráfico:
para todo
, função par em
, cresce em módulo lentamente com
.
d) Intervalo de existência:
com
(onde o discriminante
). Gráfico: ramo escolhido que passa por
; solução real somente onde o discriminante é não negativo.
e) Solução implícita/ explícita contínua escolhida pelo valor inicial:
b)
c)
d)
e) Solução implícita/ explícita contínua escolhida pelo valor inicial:
com domínio máximo contendo
dado por
Gráfico:
, solução real e contínua somente enquanto
.
f) (ramo positivo para
). Intervalo de existência:
. Gráfico:
, tende a
nas bordas do intervalo.
g) Intervalo de existência:
. Gráfico:
para todo
, cresce em módulo como
quando
é grande.
f)
g)