Para cada equação, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos precisar usar o teste de exatidão via derivadas parciais e a construção da função potencial.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
M(x,y)=2xy^{2}+2y e N(x,y)=2x^{2}y+2x de modo que a equação fica .
M(x,y)=2xy^{2}+2y e N(x,y)=2x^{2}y+2x de modo que a equação fica
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
e
.
Passo 4
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e
.
Passo 5
Integramos
em relação a
para obter
:
onde
Passo 6
Derivando
em relação a
e igualando a
:
deve ser igual a
. Daí
e
.
Passo 7
Logo, a solução implícita geral é dada por
onde
Resposta
x{2}y{2}+2xy=C