Para cada equação, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial (2xy^2+2y)+(2x^2y+2x)y'=0 é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos precisar usar o teste de exatidão via derivadas parciais e a construção da função potencial.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções
M(x,y)=2xy^{2}+2y e N(x,y)=2x^{2}y+2x de modo que a equação fica M(x,y)+N(x,y)y'=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4xy+2 e partial Npartial x=4xy+2.

Passo 4

Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial Phi(x,y) tal que partialPhi/partial x=M e partialPhi/partial y=N.

Passo 5

Integramos M em relação a x para obter Phi:
Phi(x,y)=integral (2xy^2+2y),dx = x^2y^2+2xy + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Derivando Phi em relação a y e igualando a N:
partialPhipartial y=2x^2y+2x + h'(y) deve ser igual a 2x^2y+2x. Daí h'(y)=0 e h(y)=C1.

Passo 7

Logo, a solução implícita geral é dada por
x^2y^2+2xy=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

x{2}y{2}+2xy=C

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