Em cada e exercício resolva a equação diferencial.
x y^prime=(1-y^2)^12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = raiz1 - y^2,
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais separáveis, em que podemos colocar todos os y de um lado e todos os x do outro para integrar.

Passo 2

Primeiro escrevemos a derivada de forma explícita:
dydx = raiz1 - y^2x,
Agora separamos as variáveis para ter uma integral em y e outra em x:
dyraiz1 - y^2 = dxx,

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos a primitiva de 1/raiz1-y^2, que é arcsin(y). Do lado direito vem lnlvert xrvert mais uma constante de integração C:
integral dyraiz1 - y^2 = integral dxx
arcsin(y) = lnlvert xrvert + C

Passo 4

Isolamos y aplicando o seno em ambos os lados:
y(x) = sinl(lnlvert xrvert + Cr)
Podemos ainda absorver o deslocamento C numa nova constante C1 dentro do seno, mas a forma geral já está apresentada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = sinl(lnlvert xrvert + Cr),
onde C é a constante de integração.

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