Nas seguintes equações encontre um fator integrante e resolva a equação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando um fator integrante. O conteúdo aqui é equações diferenciais de forma exata e fator integrante, e vamos precisar testar a exatidão, identificar um fator integrante dependente só de
ou só de
e então integrar.
Passo 2
Escrevemos a forma diferencial como
onde
Para ser exata precisaríamos
. Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos fator integrante
ou
. Para
usa-se a condição
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e
. Verificamos
logo a forma é exata. Existe função potencial
tal que
portanto
Derivando em
,
deve igualar
. Assim
e integrando por partes
Passo 5
Compondo
,
A solução geral implícita é
ou seja