Nas seguintes equações encontre um fator integrante e resolva a equação.
d x+(xy-sen y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
d x+l(xy-sen yr)d y=0
usando um fator integrante. O conteúdo aqui é equações diferenciais de forma exata e fator integrante, e vamos precisar testar a exatidão, identificar um fator integrante dependente só de x ou só de y e então integrar.

Passo 2

Escrevemos a forma diferencial como
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
onde
M(x,y)=1, N(x,y)=xy-sen y
Para ser exata precisaríamos My=Nx. Calculamos
My=0, Nx=partialpartial xl(xy-sen yr)=1y
Como 0neq1y, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos fator integrante mu(x) ou mu(y). Para mu(y) usa-se a condição
Nx-MyM=tfrac1y-01=1y,
que depende só de y. Logo
mu(y)=expl(integral1y,dyr)=exp(ln y)=y

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=y, obtendo
y,dx+l(x-ysen yr),dy=0
Agora M^*(x,y)=y e N^*(x,y)=x-ysen y. Verificamos
M^*y=1, N^*x=1,
logo a forma é exata. Existe função potencial Psi(x,y) tal que
Psix=M^*=y,
portanto
Psi(x,y)=xy+h(y)
Derivando em y,
Psiy=x+h'(y)
deve igualar N^*=x-ysen y. Assim
h'(y)=-,ysen y,
e integrando por partes
h(y)=integral -ysen y,dy =ycos y-sen y

Passo 5

Compondo Psi,
Psi(x,y)=xy+l(ycos y-sen yr)
A solução geral implícita é
Psi(x,y)=C,
ou seja
xy+ycos y-sen y=C

Resposta

xy+ycos y-sen y=C

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