Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equação.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- A equação diferencial dada é
. - A função que devemos testar é
. - O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que a função dada é solução da equação diferencial.
- Determinar o maior intervalo (ou intervalos) da variável independente
onde a solução está definida e satisfaz a equação.
Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
- As funções
e estão definidas para todo . - A equação tem coeficientes constantes (1 e
), que são contínuos em todo .
Passo 2
Estratégia para mostrar que uma função é solução de uma EDO: calcular as derivadas necessárias da função candidata, substituí-las na equação diferencial e verificar se a igualdade é satisfeita para todos os
do domínio.
Antes de calcular, revisando regras de derivação que usarei (aulas rápidas):
- Regra da cadeia para funções trigonométricas: se
então . Se então . - Explicando por que: derivada de
em relação a é ; se , então , portanto . Mesmo raciocínio para .
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
A função é
.
- Derivada de
: usando a regra da cadeia, . - Derivada de
: .
Somando termo a termo,
Passo 4
Calcular a segunda derivada
diferenciando
.
Temos
.
- Derivada de
: coeficiente permanece e derivada de é , logo . - Derivada de
: coeficiente permanece e derivada de é , logo .
Somando,
Passo 5
Substituir
e
na equação
e verificar se dá zero.
Calculamos:
Agora desenvolvendo (distribuindo o
):
Observe que
cancela com
e
cancela com
. Portanto
para todo
onde as expressões estão definidas.
Passo 6
Concluir que a igualdade foi verificada para todo
no domínio das funções trigonométricas (que é
). Agora preciso justificar qual é o maior intervalo onde a solução está definida e satisfaz a equação.
Razões:
- A função
está definida para todo . - A equação diferencial é linear com coeficientes constantes (funções contínuas em todo
), portanto, pelo teorema de existência e unicidade para EDOs lineares com coeficientes contínuos, qualquer solução inicializada em um ponto real estende-se a toda reta real. - Já verificamos que
satisfaz a equação para todo .
Logo o maior intervalo de validade é
.
(Comentário extra rápido e útil para prova: a equação homogênea
tem solução geral
. A função dada corresponde aos coeficientes
e
.)