Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equação.
x^{\prime \prime}+4 x=0 ; x(t)=\cos (2 t)+\operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • A equação diferencial dada é \;x''+4x=0.
  • A função que devemos testar é \;x(t)=\cos(2t)+\sin(2t).
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Mostrar que a função dada é solução da equação diferencial.
    2. Determinar o maior intervalo (ou intervalos) da variável independente t onde a solução está definida e satisfaz a equação.
Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
  • As funções \cos(2t) e \sin(2t) estão definidas para todo t\in\mathbb{R}.
  • A equação tem coeficientes constantes (1 e 4), que são contínuos em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Estratégia para mostrar que uma função é solução de uma EDO: calcular as derivadas necessárias da função candidata, substituí-las na equação diferencial e verificar se a igualdade é satisfeita para todos os t do domínio.
Antes de calcular, revisando regras de derivação que usarei (aulas rápidas):
  • Regra da cadeia para funções trigonométricas: se f(t)=\cos(kt) então f'(t)=-k\sin(kt). Se g(t)=\sin(kt) então g'(t)=k\cos(kt).
  • Explicando por que: derivada de \cos u em relação a u é -\sin u; se u=kt, então \dfrac{du}{dt}=k, portanto \dfrac{d}{dt}\cos(kt) = -\sin(kt)\cdot k = -k\sin(kt). Mesmo raciocínio para \sin(kt).
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \;x'(t).
A função é \;x(t)=\cos(2t)+\sin(2t).
  • Derivada de \cos(2t): usando a regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\cos(2t) = -2\sin(2t).
  • Derivada de \sin(2t): \dfrac{d}{dt}\sin(2t) = 2\cos(2t).
Somando termo a termo,
x'(t) = -2\sin(2t) + 2\cos(2t).

Passo 4

Calcular a segunda derivada \;x''(t) diferenciando x'(t).
Temos x'(t) = -2\sin(2t) + 2\cos(2t).
  • Derivada de -2\sin(2t): coeficiente -2 permanece e derivada de \sin(2t) é 2\cos(2t), logo \dfrac{d}{dt}\big(-2\sin(2t)\big) = -2\cdot 2\cos(2t) = -4\cos(2t).
  • Derivada de 2\cos(2t): coeficiente 2 permanece e derivada de \cos(2t) é -2\sin(2t), logo \dfrac{d}{dt}\big(2\cos(2t)\big)=2\cdot(-2)\sin(2t) = -4\sin(2t).
Somando,
x''(t) = -4\cos(2t) - 4\sin(2t).

Passo 5

Substituir x(t) e x''(t) na equação \;x''+4x e verificar se dá zero.
Calculamos:
x''(t) + 4x(t) = \big(-4\cos(2t) - 4\sin(2t)\big) + 4\big(\cos(2t) + \sin(2t)\big).
Agora desenvolvendo (distribuindo o 4):
x''(t) + 4x(t) = -4\cos(2t) - 4\sin(2t) + 4\cos(2t) + 4\sin(2t).
Observe que -4\cos(2t) cancela com +4\cos(2t) e -4\sin(2t) cancela com +4\sin(2t). Portanto
x''(t) + 4x(t) = 0
para todo t onde as expressões estão definidas.

Passo 6

Concluir que a igualdade foi verificada para todo t no domínio das funções trigonométricas (que é \mathbb{R}). Agora preciso justificar qual é o maior intervalo onde a solução está definida e satisfaz a equação.
Razões:
  • A função x(t)=\cos(2t)+\sin(2t) está definida para todo t\in\mathbb{R}.
  • A equação diferencial é linear com coeficientes constantes (funções contínuas em todo \mathbb{R}), portanto, pelo teorema de existência e unicidade para EDOs lineares com coeficientes contínuos, qualquer solução inicializada em um ponto real estende-se a toda reta real.
  • Já verificamos que x(t) satisfaz a equação para todo t\in\mathbb{R}.
Logo o maior intervalo de validade é (-\infty,\infty).
(Comentário extra rápido e útil para prova: a equação homogênea \;x''+4x=0 tem solução geral \;x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t). A função dada corresponde aos coeficientes C_1=1 e C_2=1.)

Resposta

\text{A função }x(t)=\cos(2t)+\sin(2t)\text{ satisfaz }x''+4x=0\text{ para todo }t\in(-\infty,\infty).çã
\text{Maior intervalo de definição e validade: }(-\infty,\infty).çã

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