Determine a ordem e a linearidade das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial
Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
- Dado: a equação diferencial ordinária acima, onde
é a variável independente e é a função desconhecida. - Pedido: (i) determinar a ordem da EDO; (ii) determinar se a EDO é linear ou não linear.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO?
- A ordem da EDO é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. - Na equação dada aparecem as derivadas
(primeira), possivelmente (zero-ésima) e (terceira). - O maior número de derivadas presente é a terceira, representada por
. - Portanto, pela definição, a ordem da EDO é 3.
Passo 3
O que significa “linearidade” de uma EDO?
- Uma EDO é linear (de ordem
) se puder ser escrita na forma
onde cada
e
dependem apenas da variável independente
(ou são constantes), e a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências não unitárias de
, sem funções não lineares de
, etc.).
- Em contraste, qualquer presença de termos como
, , , , etc., torna a equação não linear.
Passo 4
Aplicando a definição de linearidade à equação dada:
- Reescrevendo a equação,
- Compare com a forma linear. O termo que multiplica
seria, na forma linear, uma função que depende somente de . Aqui, o “coeficiente” de é . - Observe que
depende de (aparece ). Isso significa que a equação contém um produto entre uma função de e , ou seja, um termo não linear (produto e potência não unitária). - Além disso, o termo
contém uma potência de ( ), que não é compatível com linearidade. - Portanto a equação não satisfaz a forma linear porque alguns “coeficientes” dependem de
, não apenas de .
Passo 5
Resumo e classificação final (com uma explicação curta e intuitiva):
- A maior derivada presente é
, então a ordem é 3. - Como aparece o termo
(produto de por ), a equação é não linear — em uma equação linear os coeficientes das derivadas só podem depender de , não de , e não podem aparecer potências ou produtos não lineares envolvendo .
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear