Determine a ordem e a linearidade das seguintes EDOs,
u^{\prime \prime \prime}+t^{4} u^{5} u^{\prime}=\cos (t)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a equação diferencial
u^{\prime\prime\prime}+t^{4}u^{5}u^{\prime}=\cos(t).
Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
  • Dado: a equação diferencial ordinária acima, onde t é a variável independente e u=u(t) é a função desconhecida.
  • Pedido: (i) determinar a ordem da EDO; (ii) determinar se a EDO é linear ou não linear.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO?
  • A ordem da EDO é o maior número de derivadas de u que aparece na equação.
  • Na equação dada aparecem as derivadas u' (primeira), possivelmente u (zero-ésima) e u^{\prime\prime\prime} (terceira).
  • O maior número de derivadas presente é a terceira, representada por u^{\prime\prime\prime}.
  • Portanto, pela definição, a ordem da EDO é 3.

Passo 3

O que significa “linearidade” de uma EDO?
  • Uma EDO é linear (de ordem n) se puder ser escrita na forma
a_n(t)\,u^{(n)}+a_{n-1}(t)\,u^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)\,u'+a_0(t)\,u = f(t),
onde cada a_k(t) e f(t) dependem apenas da variável independente t (ou são constantes), e a incógnita u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, sem produtos entre u e suas derivadas, sem potências não unitárias de u, sem funções não lineares de u, etc.).
  • Em contraste, qualquer presença de termos como u^2, \sin(u), u\,u', u^5 u', etc., torna a equação não linear.

Passo 4

Aplicando a definição de linearidade à equação dada:
  • Reescrevendo a equação,
u^{\prime\prime\prime} + t^{4}\,u^{5}\,u^{\prime} = \cos(t).
  • Compare com a forma linear. O termo que multiplica u' seria, na forma linear, uma função que depende somente de t. Aqui, o “coeficiente” de u' é t^{4}u^{5}.
  • Observe que t^{4}u^{5} depende de u (aparece u^{5}). Isso significa que a equação contém um produto entre uma função de u e u', ou seja, um termo não linear (produto e potência não unitária).
  • Além disso, o termo t^{4}u^{5}u' contém uma potência de u ( u^{5}), que não é compatível com linearidade.
  • Portanto a equação não satisfaz a forma linear porque alguns “coeficientes” dependem de u, não apenas de t.

Passo 5

Resumo e classificação final (com uma explicação curta e intuitiva):
  • A maior derivada presente é u^{\prime\prime\prime}, então a ordem é 3.
  • Como aparece o termo t^{4}u^{5}u' (produto de u^{5} por u'), a equação é não linear — em uma equação linear os coeficientes das derivadas só podem depender de t, não de u, e não podem aparecer potências ou produtos não lineares envolvendo u.

Resposta

Ordem: 3
Linearidade: não linear

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