Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata:
O que se pede:
- Mostrar que a função dada é solução da equação diferencial (ou seja, substituir e verificar que a igualdade é satisfeita) nos pontos onde tudo faz sentido.
- Determinar o(s) maior(es) intervalo(s) de
nos quais a função está definida e satisfaz a equação.
Informações relevantes dadas:
- A função é definida por uma raiz quadrada
, logo só existe (como função real) quando o radicando é não negativo. - O lado direito da EDO contém divisão por
, logo é necessário para que a EDO esteja bem definida.
Passo 2
Vou calcular a derivada
da função
passo a passo, usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (lembrando): se
com
diferenciável em
e
diferenciável em
, então
Aqui tomo
e
. Então:
- Primeiro
. - Depois
.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Substituo
e
na expressão de
e simplifico passo a passo:
Os fatores
e
se cancelam, ficando
Reescrevendo usando a raiz:
Passo 4
Agora comparo com o lado direito da EDO. Pela definição dada,
Logo, sempre que
(ou seja, quando a raiz é estritamente positiva),
Portanto, para todos os
tais que
vale
ou seja, a função satisfaz a EDO nesses pontos.
Passo 5
Agora preciso determinar o domínio da função
(onde o radicando é não negativo) e excluir os pontos em que
porque a EDO não estaria definida nesses pontos.
Resolvo a inequação
Calculo as raízes da quadrática
. O discriminante é
portanto as raízes são
Como a parábola abre para cima, a quadrática é não negativa fora do intervalo entre as raízes. Logo o radicando é
quando
Passo 6
Nos pontos
e
o radicando é zero, então
. Nesses pontos o lado direito da EDO
é indefinido (divisão por zero). Além disso, a derivada
encontrada na forma
tende a infinito ao aproximar-se desses pontos (porque denominador tende a zero enquanto
tende a
), então não há igualdade bem-definida ali.
Portanto a função só pode satisfazer a EDO em intervalos onde o radicando é estritamente positivo, isto é, onde
.
Passo 7
Identifico os maiores intervalos em que
:
Nesses intervalos
, a função é diferenciável (composição de polinômio e raiz sobre argumento positivo) e a verificação feita nos passos anteriores mostra que em todo ponto desses intervalos
ou seja, a função dada é solução da EDO em cada um desses intervalos. Não é possível estender a solução através dos pontos onde
, porque a EDO deixa de fazer sentido ali.
Resposta
A função é solução da EDO para
.
A função é solução da EDO para
.