Para cada equação diferencial abaixo, mostre que a função dada é uma solução. Determine o maior intervalo ou intervalos da variável independente sobre os quais a solução é definida e satisfaz a equação.
x^{\prime}=\frac{t+2}{x} ; \quad x(t)=\sqrt{t^{2}+4 t+1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata:
x'=\frac{t+2}{x}, \qquad x(t)=\sqrt{t^{2}+4t+1}.
O que se pede:
  • Mostrar que a função dada é solução da equação diferencial (ou seja, substituir e verificar que a igualdade é satisfeita) nos pontos onde tudo faz sentido.
  • Determinar o(s) maior(es) intervalo(s) de t nos quais a função está definida e satisfaz a equação.
Informações relevantes dadas:
  • A função é definida por uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}, logo só existe (como função real) quando o radicando t^{2}+4t+1 é não negativo.
  • O lado direito da EDO contém divisão por x, logo é necessário x(t)\neq 0 para que a EDO esteja bem definida.

Passo 2

Vou calcular a derivada x'(t) da função x(t)=\sqrt{t^{2}+4t+1} passo a passo, usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (lembrando): se x(t)=g(u(t)) com g diferenciável em u e u diferenciável em t, então
x'(t)=g'(u(t))\cdot u'(t).
Aqui tomo u(t)=t^{2}+4t+1 e g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}. Então:
  • Primeiro u'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}+4t+1\bigr)=2t+4=2(t+2).
  • Depois g'(u)=\dfrac{d}{du}u^{1/2}=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}.
Aplicando a regra da cadeia:
x'(t)=\frac{1}{2}u(t)^{-1/2}\cdot u'(t).

Passo 3

Substituo u(t) e u'(t) na expressão de x'(t) e simplifico passo a passo:
x'(t)=\frac{1}{2}\bigl(t^{2}+4t+1\bigr)^{-1/2}\cdot 2(t+2).
Os fatores 1/2 e 2 se cancelam, ficando
x'(t)=(t+2)\bigl(t^{2}+4t+1\bigr)^{-1/2}.
Reescrevendo usando a raiz:
x'(t)=\frac{t+2}{\sqrt{t^{2}+4t+1}}.

Passo 4

Agora comparo com o lado direito da EDO. Pela definição dada,
x(t)=\sqrt{t^{2}+4t+1}.
Logo, sempre que x(t)\neq 0 (ou seja, quando a raiz é estritamente positiva),
\frac{t+2}{\sqrt{t^{2}+4t+1}}=\frac{t+2}{x(t)}.
Portanto, para todos os t tais que x(t)>0 vale
x'(t)=\frac{t+2}{x(t)},
ou seja, a função satisfaz a EDO nesses pontos.

Passo 5

Agora preciso determinar o domínio da função x(t)=\sqrt{t^{2}+4t+1} (onde o radicando é não negativo) e excluir os pontos em que x(t)=0 porque a EDO não estaria definida nesses pontos.
Resolvo a inequação
t^{2}+4t+1\ge 0.
Calculo as raízes da quadrática t^{2}+4t+1=0. O discriminante é
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot1=16-4=12=4\cdot3,
portanto as raízes são
t=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt{3}.
Como a parábola abre para cima, a quadrática é não negativa fora do intervalo entre as raízes. Logo o radicando é \ge 0 quando
t\in(-\infty,-2-\sqrt{3}]\cup[-2+\sqrt{3},\infty).

Passo 6

Nos pontos t_{1}=-2-\sqrt{3} e t_{2}=-2+\sqrt{3} o radicando é zero, então x(t_{1})=x(t_{2})=0. Nesses pontos o lado direito da EDO \dfrac{t+2}{x} é indefinido (divisão por zero). Além disso, a derivada x'(t) encontrada na forma \dfrac{t+2}{\sqrt{t^{2}+4t+1}} tende a infinito ao aproximar-se desses pontos (porque denominador tende a zero enquanto t+2 tende a \pm\sqrt{3}\neq 0), então não há igualdade bem-definida ali.
Portanto a função só pode satisfazer a EDO em intervalos onde o radicando é estritamente positivo, isto é, onde x(t)>0.

Passo 7

Identifico os maiores intervalos em que t^{2}+4t+1>0:
t\in(-\infty,-2-\sqrt{3})\quad\text{ou}\quad t\in(-2+\sqrt{3},\infty).
Nesses intervalos x(t)>0, a função é diferenciável (composição de polinômio e raiz sobre argumento positivo) e a verificação feita nos passos anteriores mostra que em todo ponto desses intervalos
x'(t)=\frac{t+2}{x(t)},
ou seja, a função dada é solução da EDO em cada um desses intervalos. Não é possível estender a solução através dos pontos onde x=0, porque a EDO deixa de fazer sentido ali.

Resposta

A função é solução da EDO para t\in(-\infty,-2-\sqrt{3}).
A função é solução da EDO para t\in(-2+\sqrt{3},\infty).

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