Cada placa de um capacitor com placas paralelas possui carga acumulada de módulo igual a 80 nC e a discificia centre as placas é de 2,5 \mathrm{~mm}. As placas estão no vácuo. O campo elétrico entre as placas possui módulo igual a 4 \times 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. a) Qual é a diferença de potencial entre as placas? b) Qual é a área de cada placa? C) Qual o valor da capacitância?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Carga acumulada em cada placa (módulo): Q=80\\ \mathrm{nC}.
  • Distância entre as placas: d=2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Campo elétrico entre as placas (módulo): E=4\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
  • As placas estão no vácuo.
O que o exercício pede:
(a) a diferença de potencial entre as placas;
(b) a área de cada placa;
(c) o valor da capacitância.

Passo 2

Entendendo a relação entre campo elétrico E e diferença de potencial \Delta V entre placas paralelas: para um campo uniforme entre placas paralelas e separação d vale a relação
E=\frac{\Delta V}{d},
onde:
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{V/m},
  • \Delta V é a diferença de potencial entre as placas em \mathrm{V},
  • d é a distância entre as placas em \mathrm{m}.
Rearranjando para obter \Delta V:
\Delta V = E\,d.
Agora substituo os números (convertendo unidades para SI):
d=2{,}5\\ \mathrm{mm}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \qquad E=4\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
\Delta V = (4\times10^{4})\cdot(2{,}5\times10^{-3}) = 100\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Para achar a área A usamos a relação entre E e a densidade superficial de carga \sigma numa placa no vácuo:
E=\frac{\sigma}{\epsilon_0},
onde:
  • \sigma é a densidade superficial de carga \sigma=\dfrac{Q}{A} (em \mathrm{C/m^2}),
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Substituindo \sigma=\dfrac{Q}{A} em E=\dfrac{\sigma}{\epsilon_0} e isolando A:
E=\frac{Q/(A)}{\epsilon_0} \quad\Rightarrow\quad A=\frac{Q}{\epsilon_0 E}.
Agora calculo A. Converto Q para coulombs:
Q=80\\ \mathrm{nC}=80\times10^{-9}\\ \mathrm{C}=8{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Substituo os valores:
A=\frac{8{,}0\times10^{-8}}{(8{,}85\times10^{-12})\,(4\times10^{4})}.
Faço o produto do denominador:
(8{,}85\times10^{-12})\,(4\times10^{4})=3{,}54\times10^{-7}.
Portanto
A=\frac{8{,}0\times10^{-8}}{3{,}54\times10^{-7}} \approx 0{,}226\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Agora calculo a capacitância C. Há duas formas equivalentes e rápidas:
Método 1 — usando C=\dfrac{Q}{\Delta V}. Já tenho Q e \Delta V:
C=\frac{8{,}0\times10^{-8}}{100}=8{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Método 2 — fórmula do capacitor de placas paralelas no vácuo:
C=\epsilon_0\frac{A}{d}.
Substituindo \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, A\approx0{,}226\\ \mathrm{m^2} e d=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
C=(8{,}85\times10^{-12})\frac{0{,}226}{2{,}5\times10^{-3}}\approx8{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{F},
o que confirma o resultado do Método 1.
Convém também dar o valor em unidades mais usuais:
8{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=0{,}80\\ \mathrm{nF}=800\\ \mathrm{pF}.

Passo 5

Pequeno comentário de verificação e incentivo: os valores estão consistentes entre si (usar E=\sigma/\epsilon_0 levou a uma área relativamente grande, o que faz sentido dado o pequeno E e a carga não tão pequena). Ótimo trabalho por ter chegado até aqui — agora revise esses passos e pratique mais um exercício parecido para fixar!

Resposta

(a) 100\\ \mathrm{V}
(b) 0,226\\ \mathrm{m^{2}}
(c) 8{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{F} \;=\;0{,}80\\ \mathrm{nF}\;=\;800\\ \mathrm{pF}

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