Determine a ordem e a linearidade das seguintes EDOs,
u^{\prime \prime}+\operatorname{sen} u=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
u''+\operatorname{sen}u=0
e pede duas coisas: (1) determinar a ordem da EDO; (2) determinar se a EDO é linear ou não linear. Aqui vou escrever a função trigonométrica na notação usual em TeX como \sin, isto é, a equação é
u''+\sin u=0.

Passo 2

O que é a ordem de uma EDO e como identificá‑la.
  • Definição: a ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de u que aparece na equação.
  • Exemplo rápido: se aparecerem u',u'' e u^{(3)} então a ordem é 3.
    Aplicando isso à nossa equação, os termos que aparecem são u'' (segunda derivada) e \sin u (função de u sem derivadas). O maior índice de derivada presente é 2. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

O que significa ser linear e o critério prático.
  • Definição (intuitiva e prática): uma EDO é linear em u se u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, cada uma com potência 1 e sem serem argumentos de funções não lineares), multiplicadas por coeficientes que podem depender somente da variável independente (por exemplo x), e possivelmente somadas a um termo independente. A forma geral de uma EDO linear de ordem n é
a_n(x)u^{(n)}+\cdots+a_1(x)u'+a_0(x)u = g(x),
onde os a_i(x) e g(x) dependem só da variável independente.
  • Sinais de não linearidade: aparecimento de termos como u^2, u\cdot u', \sin u, e^{u}, etc., indicam não linearidade porque são funções não lineares do próprio u.

Passo 4

Aplicando o critério à nossa equação.
  • A equação é \;u''+\sin u=0.; O termo \sin u é uma função não linear de u: para pequenas amplitudes \sin u = u - \tfrac{u^3}{3!}+\cdots, ou seja, sua expansão já contém potências u^3, etc., mostrando explicitamente não linearidade em u.
  • Não é possível escrever \sin u como um coeficiente que dependa apenas da variável independente multiplicando u; logo a equação não está na forma linear indicada acima.
Portanto a equação é não linear.

Passo 5

Resumo conceitual (para a prova: como reconhecer rapidamente).
  • Ordem: identificar a maior derivada presente.
  • Linearidade: verificar se todos os termos que envolvem u e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções da variável independente; se houver \sin u, u^2, u\cdot u', e^u, etc., é não linear.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: não linear

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