Determine a ordem e a linearidade das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede duas coisas: (1) determinar a ordem da EDO; (2) determinar se a EDO é linear ou não linear. Aqui vou escrever a função trigonométrica na notação usual em TeX como
, isto é, a equação é
Passo 2
O que é a ordem de uma EDO e como identificá‑la.
- Definição: a ordem de uma EDO é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. - Exemplo rápido: se aparecerem
e então a ordem é .
Aplicando isso à nossa equação, os termos que aparecem são(segunda derivada) e (função de sem derivadas). O maior índice de derivada presente é . Portanto a ordem é
Passo 3
O que significa ser linear e o critério prático.
- Definição (intuitiva e prática): uma EDO é linear em
se e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, cada uma com potência e sem serem argumentos de funções não lineares), multiplicadas por coeficientes que podem depender somente da variável independente (por exemplo ), e possivelmente somadas a um termo independente. A forma geral de uma EDO linear de ordem é
onde os
e
dependem só da variável independente.
- Sinais de não linearidade: aparecimento de termos como
, , , , etc., indicam não linearidade porque são funções não lineares do próprio .
Passo 4
Aplicando o critério à nossa equação.
- A equação é
.; O termo é uma função não linear de : para pequenas amplitudes , ou seja, sua expansão já contém potências , etc., mostrando explicitamente não linearidade em . - Não é possível escrever
como um coeficiente que dependa apenas da variável independente multiplicando ; logo a equação não está na forma linear indicada acima.
Portanto a equação é não linear.
Passo 5
Resumo conceitual (para a prova: como reconhecer rapidamente).
- Ordem: identificar a maior derivada presente.
- Linearidade: verificar se todos os termos que envolvem
e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções da variável independente; se houver , , , , etc., é não linear.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear