Determine a ordem e a linearidade das seguintes EDOs,
u^{\prime}+u^{1 / 2}=0

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a ordem e a linearidade da EDO
u^{\prime}+u^{1/2}=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função u, dependente de uma variável independente (por exemplo x ou t), não especificada no enunciado.
  • A equação envolve a derivada primeira u^{\prime} e a expressão u^{1/2} (a raiz quadrada de u).
    As perguntas explícitas são:
  • Qual é a ordem da EDO?
  • A EDO é linear ou não linear?

Passo 2

Definição de ordem de uma EDO (aula rápida e prática).
  • A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada da incógnita que aparece na equação.
  • Exemplos: a equação \;u''+3u'-u=0\; é de ordem 2 porque aparece u''; \;u'+\sin u=0\; é de ordem 1 porque a maior derivada é u'.
Aplicando ao nosso caso:
  • Na equação \;u^{\prime}+u^{1/2}=0\; a maior derivada presente é u^{\prime}, que é a derivada de primeira ordem.
    Logo a ordem da EDO é \;1\;.

Passo 3

Definição de linearidade (passo a passo, com exemplos e o porquê).
  • Uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x) u^{(n)} + a_{n-1}(x) u^{(n-1)} + \cdots + a_1(x) u' + a_0(x) u = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo fonte g(x) dependem apenas da variável independente (por exemplo x), e não dependem de u nem de suas derivadas. Em outras palavras, a incógnita u e suas derivadas aparecem apenas de maneira linear (isto é, com potência 1 e sem produções entre elas).
  • Exemplo de equação linear de primeira ordem: \;u' + p(x)\,u = q(x)\;.
  • Exemplo de equação não linear: \;u' + u^2 = 0\; (porque u^2 é não linear em u).
Teste na equação dada:
  • Reescrevendo, \;u' = -u^{1/2}.
  • O termo à direita -u^{1/2} depende de u de forma não linear (a operação é elevar u à potência 1/2, diferente de multiplicar u por uma função de x).
  • Não existem funções a_1(x) e a_0(x) tais que -u^{1/2} = a_0(x)\,u + g(x) para todo u (a dependência em u não é linear).
    Portanto a equação não satisfaz a forma linear acima e é, logo, não linear.

Passo 4

Comentário adicional útil para a prova (mostrar método aplicável e reforçar o porquê da não linearidade).
  • Mesmo sendo não linear, a equação é simples e classifica-se como uma EDO de primeira ordem, autônoma (os termos não dependem explicitamente da variável independente) e separável. Isso é só para estudo: a separabilidade confirma que não é linear, mas permite resolver.
  • Separação de variáveis (apenas para ver como se manipula este tipo de EDO):
u' = -u^{1/2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = -u^{1/2}.
Se u>0 podemos separar:
\frac{du}{u^{1/2}} = -\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int u^{-1/2}\,du = -\int dx
2u^{1/2} = -x + C,
onde C é constante de integração. Assim
u^{1/2} = \frac{C - x}{2}, \qquad u(x) = \left(\frac{C - x}{2}\right)^{2}.
  • Observação importante (conceitual para a prova): ao separar dividimos por u^{1/2}, portanto assumimos u>0. A solução u\equiv 0 também satisfaz a equação original e deve ser considerada separadamente porque a operação de divisão não é válida para u=0.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (curto e motivador).
  • Ordem: determina-se olhando a maior derivada presente — aqui é u', logo ordem 1.
  • Linearidade: verifica-se se a incógnita e suas derivadas aparecem apenas de forma linear com coeficientes que dependem somente da variável independente — aqui aparece u^{1/2}, que é não linear em u. Logo a equação é não linear.
  • Dica de prova: se pedirem classificação, escreva "ordem 1" e “não linear” e, se quiser impressionar, acrescente que é autônoma e separável (com a solução geral para u>0 mostrada acima) e que u\equiv 0 é solução singular.

Resposta

\text{Ordem: }1
\text{Linearidade: não linear}ã

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