Determine a ordem e a linearidade das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a ordem e a linearidade da EDO
Informações dadas:
- A incógnita é a função
, dependente de uma variável independente (por exemplo ou ), não especificada no enunciado. - A equação envolve a derivada primeira
e a expressão (a raiz quadrada de ).
As perguntas explícitas são: - Qual é a ordem da EDO?
- A EDO é linear ou não linear?
Passo 2
Definição de ordem de uma EDO (aula rápida e prática).
- A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada da incógnita que aparece na equação.
- Exemplos: a equação
é de ordem porque aparece ; é de ordem porque a maior derivada é .
Aplicando ao nosso caso:
- Na equação
a maior derivada presente é , que é a derivada de primeira ordem.
Logo a ordem da EDO é.
Passo 3
Definição de linearidade (passo a passo, com exemplos e o porquê).
- Uma EDO de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo fonte
dependem apenas da variável independente (por exemplo
), e não dependem de
nem de suas derivadas. Em outras palavras, a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de maneira linear (isto é, com potência
e sem produções entre elas).
- Exemplo de equação linear de primeira ordem:
. - Exemplo de equação não linear:
(porque é não linear em ).
Teste na equação dada:
- Reescrevendo,
- O termo à direita
depende de de forma não linear (a operação é elevar à potência , diferente de multiplicar por uma função de ). - Não existem funções
e tais que para todo (a dependência em não é linear).
Portanto a equação não satisfaz a forma linear acima e é, logo, não linear.
Passo 4
Comentário adicional útil para a prova (mostrar método aplicável e reforçar o porquê da não linearidade).
- Mesmo sendo não linear, a equação é simples e classifica-se como uma EDO de primeira ordem, autônoma (os termos não dependem explicitamente da variável independente) e separável. Isso é só para estudo: a separabilidade confirma que não é linear, mas permite resolver.
- Separação de variáveis (apenas para ver como se manipula este tipo de EDO):
Se
podemos separar:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Assim
- Observação importante (conceitual para a prova): ao separar dividimos por
, portanto assumimos . A solução também satisfaz a equação original e deve ser considerada separadamente porque a operação de divisão não é válida para .
Passo 5
Resumo final do raciocínio (curto e motivador).
- Ordem: determina-se olhando a maior derivada presente — aqui é
, logo ordem . - Linearidade: verifica-se se a incógnita e suas derivadas aparecem apenas de forma linear com coeficientes que dependem somente da variável independente — aqui aparece
, que é não linear em . Logo a equação é não linear. - Dica de prova: se pedirem classificação, escreva "ordem
" e “não linear” e, se quiser impressionar, acrescente que é autônoma e separável (com a solução geral para mostrada acima) e que é solução singular.