Para cada equação da elipse abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros
, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos. Esboçar o gráfico.
a)
,
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse juntos! O enunciado nos dá a equação
. Vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma elipse para achar o centro, os parâmetros
,
,
, os vértices e os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma elipse é
, onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Precisamos ajustar nossa equação para essa forma.
Passo 3
Vamos dividir toda a equação original por 36 para deixá-la igual a 1:
Simplificando as frações:
Agora, está na forma padrão!
Passo 4
Comparando com a forma padrão
, identificamos:
- Centro
-
então -
então
Passo 5
Agora, determinamos qual eixo é maior. Como
, o semi-eixo maior está no eixo y. Isso significa que a elipse está mais “esticada” verticalmente.
Passo 6
Para encontrar os vértices, movemos
unidades a partir do centro ao longo do eixo maior (y):
- Vértice superior:
- Vértice inferior:
Passo 7
Para achar os focos, usamos a fórmula
:
Então, os focos estão a
unidades do centro ao longo do eixo maior (y):
- Foco superior:
- Foco inferior:
Passo 8
Finalmente, o eixo maior tem comprimento
e o eixo menor tem comprimento
. Podemos esboçar a elipse com o centro em
, vértices em
e
, e focos próximos a esses vértices.
Resposta
- Centro:
- Parâmetros:
, , - Vértices:
e - Focos:
e