Para cada equação da elipse abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros a, b, c, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos. Esboçar o gráfico.
a) 9(x-2)² + 4(y-3)² = 36,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse juntos! O enunciado nos dá a equação . Vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma elipse para achar o centro, os parâmetros , , , os vértices e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma elipse é , onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Precisamos ajustar nossa equação para essa forma.

Passo 3

Vamos dividir toda a equação original por 36 para deixá-la igual a 1:
Simplificando as frações:
Agora, está na forma padrão!

Passo 4

Comparando com a forma padrão , identificamos:
  • Centro
  • então
  • então

Passo 5

Agora, determinamos qual eixo é maior. Como , o semi-eixo maior está no eixo y. Isso significa que a elipse está mais “esticada” verticalmente.

Passo 6

Para encontrar os vértices, movemos unidades a partir do centro ao longo do eixo maior (y):
  • Vértice superior:
  • Vértice inferior:

Passo 7

Para achar os focos, usamos a fórmula :
Então, os focos estão a unidades do centro ao longo do eixo maior (y):
  • Foco superior:
  • Foco inferior:

Passo 8

Finalmente, o eixo maior tem comprimento e o eixo menor tem comprimento . Podemos esboçar a elipse com o centro em , vértices em e , e focos próximos a esses vértices.

Resposta

  • Centro:
  • Parâmetros: , ,
  • Vértices: e
  • Focos: e

Exercícios relacionados