Para cada equação da hipérbole abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros a, b, c, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos, e o gráfico.
a) 5(x-3)² - 4(y-2)² = 20,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma hipérbole: . A gente vai precisar identificar o centro da hipérbole, os parâmetros , , , os vértices, os focos e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da hipérbole e alguns conceitos básicos de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma geral da hipérbole horizontal é:
Onde é o centro da hipérbole.

Passo 3

Vamos dividir a equação original por 20 para igualar a direita a 1:
Simplificando:

Passo 4

Agora, identificamos os valores de e :

Passo 5

O centro da hipérbole é o ponto .

Passo 6

Para encontrar , que é a distância do centro aos focos, usamos a relação:
Substituindo:

Passo 7

Os vértices estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo principal (que, nesse caso, é o eixo x). Então, os vértices são:

Passo 8

Os focos também estão ao longo do eixo principal, a uma distância do centro:

Passo 9

Para desenhar o gráfico, usamos o centro , desenhamos os vértices em e , e os focos em e . A hipérbole abre para a direita e para a esquerda, já que o termo com é positivo.

Resposta

  • Centro:
  • Parâmetros: , ,
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Gráfico: Uma hipérbole com centro em , abrindo para a direita e esquerda, vértices em e , e focos em e .

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