Para cada equação da hipérbole abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros
, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos, e o gráfico.
a)
,
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma hipérbole:
. A gente vai precisar identificar o centro da hipérbole, os parâmetros
,
,
, os vértices, os focos e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da hipérbole e alguns conceitos básicos de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma geral da hipérbole horizontal é:
Onde
é o centro da hipérbole.
Passo 3
Vamos dividir a equação original por 20 para igualar a direita a 1:
Simplificando:
Passo 4
Agora, identificamos os valores de
e
:
Passo 5
O centro
da hipérbole é o ponto
.
Passo 6
Para encontrar
, que é a distância do centro aos focos, usamos a relação:
Substituindo:
Passo 7
Os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo principal (que, nesse caso, é o eixo x). Então, os vértices são:
Passo 8
Os focos também estão ao longo do eixo principal, a uma distância
do centro:
Passo 9
Para desenhar o gráfico, usamos o centro
, desenhamos os vértices em
e
, e os focos em
e
. A hipérbole abre para a direita e para a esquerda, já que o termo com
é positivo.
Resposta
- Centro:
- Parâmetros:
, , - Vértices:
e - Focos:
e - Gráfico: Uma hipérbole com centro em
, abrindo para a direita e esquerda, vértices em e , e focos em e .