Para cada equação da parábola abaixo obtenha as coordenadas do vértice, o parâmetro
, a concavidade, a distância do foco à diretriz, a distância do vértice ao foco, a equação da diretriz, as coordenadas do foco, e o gráfico.
b)
,
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da parábola que é
. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as propriedades das parábolas. Nosso objetivo aqui é encontrar várias características dessa parábola, como o vértice, o parâmetro
, a concavidade, distâncias importantes, a equação da diretriz, as coordenadas do foco e até mesmo desenhar o gráfico. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A equação está na forma
, onde
é o vértice. Comparando com a nossa equação
, vemos que:
Então, o vértice é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o parâmetro
. Na forma padrão
, o coeficiente de
é
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
A concavidade da parábola depende do sinal de
. Se
for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, para baixo. Como
é positivo, a parábola concavada para cima.
Passo 5
A distância do vértice ao foco é justamente o valor de
, que já encontramos:
unidades.
A distância do foco à diretriz também é
, então também é
unidades.
Passo 6
A equação da diretriz é uma reta que fica a uma distância
do vértice na direção oposta à concavidade. Como nossa parábola abre para cima, a diretriz fica abaixo do vértice.
O vértice está em
, então a diretriz está a
unidades abaixo, em
.
Então, a equação da diretriz é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as coordenadas do foco. O foco está a uma distância
na direção da concavidade a partir do vértice.
Como a concavidade é para cima e
, o foco fica acima do vértice.
Vértice:
Foco:
Passo 8
Por fim, vamos falar sobre o gráfico da parábola. Sabemos que a parábola abre para cima, tem vértice em
e foco em
. A diretriz é a reta
.
No gráfico, a parábola será simétrica em relação à reta vertical
, passando pelo vértice e se aproximando da diretriz conforme se afasta do vértice.
Resposta
- Vértice:
- Parâmetro
: - Concavidade: Para cima
- Distância do foco à diretriz:
unidades - Distância do vértice ao foco:
unidades - Equação da diretriz:
- Foco:
- Gráfico: Uma parábola que abre para cima com vértice em
, foco em e diretriz na reta .