Para cada equação da parábola abaixo obtenha as coordenadas do vértice, o parâmetro p, a concavidade, a distância do foco à diretriz, a distância do vértice ao foco, a equação da diretriz, as coordenadas do foco, e o gráfico.
b) (x-1)^2 = 8(y+3),

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da parábola que é . A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as propriedades das parábolas. Nosso objetivo aqui é encontrar várias características dessa parábola, como o vértice, o parâmetro , a concavidade, distâncias importantes, a equação da diretriz, as coordenadas do foco e até mesmo desenhar o gráfico. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A equação está na forma , onde é o vértice. Comparando com a nossa equação , vemos que:
Então, o vértice é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o parâmetro . Na forma padrão , o coeficiente de é . No nosso caso, , então:

Passo 4

A concavidade da parábola depende do sinal de . Se for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, para baixo. Como é positivo, a parábola concavada para cima.

Passo 5

A distância do vértice ao foco é justamente o valor de , que já encontramos: unidades.
A distância do foco à diretriz também é , então também é unidades.

Passo 6

A equação da diretriz é uma reta que fica a uma distância do vértice na direção oposta à concavidade. Como nossa parábola abre para cima, a diretriz fica abaixo do vértice.
O vértice está em , então a diretriz está a unidades abaixo, em .
Então, a equação da diretriz é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as coordenadas do foco. O foco está a uma distância na direção da concavidade a partir do vértice.
Como a concavidade é para cima e , o foco fica acima do vértice.
Vértice:
Foco:

Passo 8

Por fim, vamos falar sobre o gráfico da parábola. Sabemos que a parábola abre para cima, tem vértice em e foco em . A diretriz é a reta .
No gráfico, a parábola será simétrica em relação à reta vertical , passando pelo vértice e se aproximando da diretriz conforme se afasta do vértice.

Resposta

  • Vértice:
  • Parâmetro :
  • Concavidade: Para cima
  • Distância do foco à diretriz: unidades
  • Distância do vértice ao foco: unidades
  • Equação da diretriz:
  • Foco:
  • Gráfico: Uma parábola que abre para cima com vértice em , foco em e diretriz na reta .

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