Para cada equação da elipse abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros
, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos. Esboçar o gráfico.
b)
,
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação da elipse
e pede para descobrir algumas características dela, como o centro, os parâmetros
,
,
, os vértices, os focos e até esboçar o gráfico. Para resolver isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e entender cada parte dela.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A fórmula padrão da elipse é:
onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Vamos dividir os dois lados da equação original por 64 para igualar a equação a 1:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma padrão!
Passo 4
Identificando os valores da forma padrão:
- Centro
: aqui, e , então o centro é . -
então -
então
Passo 5
Agora, vamos encontrar o parâmetro
, que está relacionado aos focos. A relação entre
,
e
em uma elipse é:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 6
Com essas informações, podemos determinar os vértices e os focos:
-
Vértices: Como
, a elipse é maior no eixo . Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior. -
Focos: Estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior.
Passo 7
Para esboçar o gráfico:
- Marque o centro em
. - Desenhe o eixo maior no eixo
com comprimento , indo de a . - Desenhe o eixo menor no eixo
com comprimento , indo de a . - Marque os focos em
e . - Desenhe a elipse conectando esses pontos de forma suave.
Resposta
- Centro:
- Parâmetros:
-
- Vértices:
e - Focos:
e - Gráfico: Esboçado conforme descrito no Passo 7.