Para cada equação da elipse abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros a, b, c, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos. Esboçar o gráfico.
b) 4(x-2)² + 16(y-1)² = 64,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação da elipse e pede para descobrir algumas características dela, como o centro, os parâmetros , , , os vértices, os focos e até esboçar o gráfico. Para resolver isso, vamos usar a fórmula padrão da elipse e entender cada parte dela.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A fórmula padrão da elipse é:
onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Vamos dividir os dois lados da equação original por 64 para igualar a equação a 1:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma padrão!

Passo 4

Identificando os valores da forma padrão:
  • Centro : aqui, e , então o centro é .
  • então
  • então

Passo 5

Agora, vamos encontrar o parâmetro , que está relacionado aos focos. A relação entre , e em uma elipse é:
Substituindo os valores:
Então,

Passo 6

Com essas informações, podemos determinar os vértices e os focos:
  • Vértices: Como , a elipse é maior no eixo . Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior.
    é
  • Focos: Estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior.

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque o centro em .
  2. Desenhe o eixo maior no eixo com comprimento , indo de a .
  3. Desenhe o eixo menor no eixo com comprimento , indo de a .
  4. Marque os focos em e .
  5. Desenhe a elipse conectando esses pontos de forma suave.

Resposta

  • Centro:
  • Parâmetros:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Gráfico: Esboçado conforme descrito no Passo 7.

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