Para cada equação da hipérbole abaixo obtenha as coordenadas do centro, os parâmetros a, b, c, as coordenadas dos vértices, as coordenadas dos focos, e o gráfico.
b) 4(y-1)^2 - 9(x-3)^2 = 36,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma hipérbole: . Nosso objetivo é encontrar várias características dessa hipérbole, como o centro, os parâmetros , , , os vértices, os focos e desenhar o gráfico. Vamos precisar entender a forma padrão da equação da hipérbole e como identificar esses elementos a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma geral é:
Isso nos mostra que a hipérbole está centrada no ponto e abre verticalmente (porque o termo com está positivo).

Passo 3

Vamos dividir os dois lados da equação original por 36 para deixá-la na forma padrão:
Simplificando, temos:
Agora está na forma padrão!

Passo 4

Identificando os valores:
Então, o centro da hipérbole é , e .

Passo 5

Para encontrar , usamos a relação :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos achar os vértices. Como a hipérbole abre verticalmente, os vértices ficam a uma distância acima e abaixo do centro:

Passo 7

Para os focos, também por estarem na vertical:

Passo 8

Sobre o gráfico: a hipérbole está centrada em , abre para cima e para baixo. Os vértices estão em e , e os focos estão próximos a esses vértices, mas mais distantes, em e . A distância entre os vértices e os focos é maior que .

Resposta

  • Centro:
  • Parâmetros: , ,
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Gráfico: Uma hipérbole centrada em que abre verticalmente, com vértices em e e focos em e .

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