Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea:
O objetivo é encontrar uma solução particular dessa EDO usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e entender um pouco sobre o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Vamos fatorar:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, as soluções gerais da equação homogênea são:
Essas duas soluções formam a solução complementar da EDO homogênea.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular (
) da equação não homogênea:
A ideia do método é assumir que a solução particular pode ser escrita como uma combinação das soluções da equação homogênea, mas com coeficientes que variam:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 7
Primeiro, encontramos as derivadas de
:
Para simplificar os cálculos, impomos que:
Isso reduz as expressões para:
Passo 8
Substituindo
,
, e
na equação original:
Depois de substituir e simplificar usando as condições impostas, chegamos a um sistema de equações para
e
.
Passo 9
Resolvendo o sistema, encontramos:
Onde
é o Wronskiano das soluções
e
, calculado por:
Calculando o Wronskiano:
Passo 10
Substituindo
nas expressões de
e
:
Passo 11
Integrando
e
para encontrar
e
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos desconsiderar as constantes de integração.
Passo 12
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução particular da EDO é: