Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução da EDO dada:
y'' + 3y' + 2y = 4e^x Resposta: yp = 2/3 e^x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea:
O objetivo é encontrar uma solução particular dessa EDO usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e entender um pouco sobre o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde r é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Vamos fatorar:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, as soluções gerais da equação homogênea são:
Essas duas soluções formam a solução complementar da EDO homogênea.

Passo 6

Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular ( ) da equação não homogênea:
A ideia do método é assumir que a solução particular pode ser escrita como uma combinação das soluções da equação homogênea, mas com coeficientes que variam:
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 7

Primeiro, encontramos as derivadas de :
Para simplificar os cálculos, impomos que:
Isso reduz as expressões para:

Passo 8

Substituindo , , e na equação original:
Depois de substituir e simplificar usando as condições impostas, chegamos a um sistema de equações para e .

Passo 9

Resolvendo o sistema, encontramos:
Onde W é o Wronskiano das soluções e , calculado por:
Calculando o Wronskiano:

Passo 10

Substituindo W nas expressões de e :

Passo 11

Integrando e para encontrar e :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos desconsiderar as constantes de integração.

Passo 12

Agora, substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução particular da EDO é:

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